Քառակուսի արմատ

Պատկեր:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

Քառակուսի արմատ $a$ (2-րդ աստիճանի արմատ, $\sqrt{a}$), այն ոչ բացասական $x$ թիվն է, որը քառակուսի բարձրացնելիս հավասար է $a$։ Հավասարազոր սահմանում․ $a$-ի քառակուսի արմատը՝ $x^2=a.$հավասարման լուծումը հանդիսացող թիվն է։ $\sqrt{a}$ արժեքի հաշվման գործողությունը կոչվում է «քառակուսի արմատի հանում» $a$ թվից։

Ավելի հաճախ $x$ և $a$ թվերը իրական թվեր են, բայց գոյություն ունի նաև կոմպլեքս թվերի և այլ մաթեմատիկական օբյեկտների համար արված ընդհանրացում։ Օրինակ՝ իրական թվերի համար․ $\sqrt{9}=\pm 3,$ որովհետև ${(\pm 3)}^2=9.$Քառակուսի արմատն ունի երկու արժեք, որոնք հակադարձ թվեր են, այսինքն, նույն արժեքն ունեցող, նշանով տարբերվող թվեր են, ինչը դժվարացնում է արմատների հետ աշխատանքը։ Միանշանակություն ապահովելու համար ներմուծում են թվաբանական արմատ հասկացությունը։ Մեր օրինակում դա 3-ն է։

Ռացիոնալ թվեր

Ռացիոնալ $a$-երի դեպքում $x^2=a$հավասարումը միշտ չէ, որ ռացիոնալ լուծում ունի։ Նույնիսկ դրական $a$-երի դեպքում, այս հավասարումը լուծում ունի միայն ու միայն այն դեպքում, երբ $a$-ի թե՛ հայտարարը, և թե՛ համարիչը, հանդիսանում են քառակուսային թվեր։

Ռացիոնալ թվից արմատից ստացված անընդհատ կոտորակը պարբերական է, որը մի կողմից ապահովում է լավ ռացիոնալ,մյուս կողմից սահմանափակոիմ է մոտարկում ն ճշգրտությունը․ $|\sqrt{r}-p/q|>\frac{1}{C{q}^2}$, որտեղ $C$ կախված է $r$։ Ճիշտ է նաև, որ ցանկացած շղթայական կոտորակ, քառակուսային իռացիոնալություն է հանդիսանում։

Իրական թվեր

Թեորեմ։ Ցանկացած դրական $a$ թվի համար գոյություն ունի երկու իրական արմատ,որոնք հավասար են մոդուլով և հակադարձ նշանով։

Ոչ բացասական $a$ թվից ոչ բացասական արմատ կոչվում է թվաբանական քառակուսի արմատ և նշանակվում է արմատի նշանով $\sqrt{a}$։

Կոմպլեքս թվեր

Կոմպլեքս թվերի դեպքում, լուծումները միշտ երկուսն են և տարբերվում են միայն նշանով(բացառությամբ զրոյի)։ Հաճախ այն նշանակում են՝ $\sqrt{a}$, սակայն պիտի դա անել զգուշությամբ։ Տարածված սխալ է՝

$-1=(\sqrt{-1}{)}^2=\sqrt{(-1{)}^2}=\sqrt{1}=1$ (ինչը, իհարկե, սխալ է)

Սխալը ստացվում է, քանի որ քառակուսի արմատը բազմանշանակ ֆունկցիա է։ Մասնավորապես, 1-ից քառակուսի արմատը երկու լուծում ունի՝ -1 և +1։

Կոմպլեքս թվից քառակուսի արմատ հանելու համար հարմար է օգտագործել կոմպլեքս թվի գրառման էքսպոնենցիալ ձևը։

Եթե

$a=|a|e^{i\varphi }$,

ապա (տես. Մուավրի բանաձև)

$\sqrt{a}=\sqrt{|a|}{e}^{i(\varphi +2\pi k)/2}$,

որտեղ մոդուլից քառակուսի արմատը ընդունվում է որպես հանրահաշվական արժեք, իսկ Կաղապար:Mvar -ն կարող է ընդունել Կաղապար:Math և Կաղապար:Math արժեքները։ Արդյունքում ստացվում է երկու տարբեր արժեքներ։

Գոյություն ունի նաև $a+bi$-ից արմատի զուտ հանրահաշվական ներկայացում։ Արմատի արժեքները ունեն հետևյալ տեսքը՝ $\pm (c+di)$, որտեղ

$c=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$

$d=\mathrm{sgn}(b)\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$

Որտեղ sgn-ն «նշան» ֆունկցիան է, իսկ արմատները նշանակում են ոչ բացասական իրական թվից սովորական թվաբանական արմատ։ Բանաձևը հեշտությամբ ստուգվում է $c+di$ քառակուսի բարձրացնելով։

Օրինակ՝ $3+4i$-ից քառակուսի արմատի համար ստացվում է երկու արժեք․ $2+i;-2-i.$

Քառակուսի արմատը որպես տարրական ֆունկցիա

Պատկեր:Graph of square roots.png

$y=\sqrt{x}$Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Քառակուսի արմատը տարրական ֆունկցիա է և $x^{\alpha }$աստիճանային ֆունկցիայի $\alpha =1/2$ մասնավոր դեպքն է։ $x>0$դեպքում, հանրահաշվական քառակուսի արմատը հարթ ֆունկցիա է, 0-ում աջից անընդհատ է և չի դիֆերենցվում։ Երկարժեք ֆունկցիա է, որի ճյուղերը միանում են 0-ում։

Քառակուսի արմատը տարրական երկրաչափությունում

Քառակուսի արմատը սերտորեն կապված է տարրական երկրաչափության հետ։Դիցուք՝ տրված է 1 երկարությամբ հատված, ապա կարկինի և քանոնի օգնությամբ կարելի է կառուցել միայն ու միայն այն հատվածները, որոնց երկարությունները գրառվում են՝ ոչ ավելի, քան ամբողջ թիվ ,չորս թվաբանական գործողություն, և քառակուսի արմատ պարունկող արտահայտությամբ։

Տես նաև

• Քառակուսի արմատի օր
• Հերոնի բանաձևը
• Քառակուսային հավասարում
• Արմատ(մաթեմատիկա)
• Խորանարդ արմատ

Արտաքին հղումներ

• Алгоритмы вычисления квадратного корня
• A geometric view of the square root algorithm
• Соловьев Ю., Старый алгоритм