Մուավրի բանաձև

Մաթեմատիկայում, Մուավրի բանաձևը (Կաղապար:Lang-en, նաև հայտնի է որպես Մուավրի թեորեմ և Մուավրի նույնություն), անվանվել է ի պատիվ Աբրահամ դե Մուավրի, պնդում է, որ ցանկացած x կոմպլեքս թվի (և, մասնավորապես ցանկացած իրական թվի) և n ամբողջ թվի համար

$(\cos (x)+i\sin (x){)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx),$

որտեղ i֊ն կեղծ միավորն է (i² = −1)։ Չնայած բանաձևը անվանված է Մուավրի պատվին, նա երբեք իր աշխատանքներում չի պնդել բանաձևը։ Կաղապար:Nowrap արտահայտությունը երբեմն հապավում են cis (x)

Բանաձևը կարևոր է, քանի որ այն կապում է կոմպլեքս թվերն ու եռանկյունաչափությունը։ Տարածելով ձախ մասը և այնուհետև համեմատելով իրական և կեղծ մասերը՝ x֊ը ընդունելով իրական՝ հնարավոր է ստանալ օգտակար արտահայտություններ cos(nx)֊ի և sin(nx)֊ի համար cos (x)֊ի և sin (x)֊ի տեսանկյունից։

Ինչպես գրված է, բանաձևը ընդունելի չէ n ոչ ամբողջ թվերի համար։ Այնուամենայնիվ, կան այս բանաձևի ընդհանրացումներ, որոնք ընդունելի են էքսպոնենտների համար։ Սա կարող է գործածվել n֊րդ միավոր արմատներին պարզ արտահայտություններ տալուն, օրինակ, z կոմպլեքս թվերին այնպես, որ zⁿ = 1։

Էյլերի բանաձևից ածանցում

Չնայած որ պատմականորեն նախկինում ապացուցվել է, Մուավրի բանաձևը հեշտությամբ կարող է ստացվել Էյլերի բանաձևից

$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$

և ամբողջ թվերի համար էքսպոնենցիալ կանոնից։

${\left(e^{ix}\right)}^n=e^{inx}$

Այնուհետև Էյլերի բանաձևով,

$e^{i(nx)}=\cos (nx)+i\sin (nx)$

Ինդուկցիայով ապացույց (n ամբողջ թվի համար)

Մուավրի թեորեմի ճշմարտությունը հիմնվում է մաթեմատիկական ինդուկցիայով բնական թվերի համար և ծավալվում բոլոր ամբողջ թվերի համար։ n ամբողջ թվերի համար, հետևյալ պնդումը նշանակենք S(n):

$(\cos (x)+i\sin (x){)}^n=\cos (nx)+i\sin (nx).$

n > 0֊ի համար, մենք շարունակում ենք մաթեմատիկական ինդուկցիայով։ S(1)֊ը լիովին ճիշտ է։ Մեր վարկածի համար, մենք ենթադրում ենք S(k)֊ն ճիշտ է ինչ֊որ kբնական թվի համար։ Այսինքն մենք ենթադրում ենք

${(\cos (x)+i\sin (x))}^k=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).$

Հիմա համարելով S(k + 1):

$\begin{array}{cc}{(\cos (x)+i\sin (x))}^{k+1}& ={(\cos (x)+i\sin (x))}^k(\cos (x)+i\sin (x))\\ & =[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)](\cos (x)+i\sin (x))& & \text{ինդուկցիայի վարկածով}\\ & =\cos \left(kx\right)\cos (x)-\sin \left(kx\right)\sin (x)+i[\cos \left(kx\right)\sin (x)+\sin \left(kx\right)\cos (x)]\\ & =\cos \left[(k+1)x\right]+i\sin \left[(k+1)x\right]& & \text{եռանկյունաչափական նույնություններով}\end{array}$

Տե՛ս անկյունների գումար և տարբերության նույնություններ։

Մենք եզրակացնում ենք, որ S(k) ենթադրում է S(k + 1)։ Մաթեմատիկական ինդուկցիայի սկզբունքով հետևում է, որ արդյունքը ճիշտ է բոլոր բնական թվերի համար։ S(0)֊ն լիովին ճիշտ է, քանի որ Կաղապար:Nowrap Կաղապար:Nowrap։ Վերջապես, բացասական ամբողջ թվերի դեպքում, մենք համարում ենք −n էքսպոնենտը n բնական թվի համար։

$\begin{array}{cc}{(\cos (x)+i\sin (x))}^{-n}& ={\left[{(\cos (x)+i\sin (x))}^n\right]}^{-1}\\ & ={[\cos (nx)+i\sin (nx)]}^{-1}\\ & =\cos (-nx)+i\sin (-nx).(*)\\ \end{array}$

Հավասարումը (*) նույնության արդյունք է

$z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2},$

Կաղապար:Nowrap համար։ Այդ պատճառով, S(n)֊ը բավարարում է բոլոր n ամբողջ թվերին։

Կոսինուս և սինուսի համար բանաձև

Լինելով կոմպլեքս թվերի հավասարում, այդ մեկը անպայմանորեն ունի հավասարման իրական մասերի և կեղծ մասերի անդամների հավասարություն։ Եթե x֊ը, հետևաբար նաև cos x֊ն ու sin x֊ը, իրական թվեր են, ապա այս մասերի նույնությունը կարող է գրվել օգտագործելով բինոմական գործակիցներ։ Այս բանաձևը տրվել էր 16֊րդ դարի մաթեմատիկոս Ֆրանցիսկոս Վիետի կողմից

$\begin{array}{cc}\sin (nx)& =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{k}x{\sin }^{n-k}x\sin \left(\frac{(n-k)\pi }{2}\right)\\ \cos (nx)& =\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{k}x{\sin }^{n-k}x\cos \left(\frac{(n-k)\pi }{2}\right).\end{array}$։

Այս երկու հավասարումներից յուրաքանչյուրում, վերջնական եռանկյունաչափական ֆունկցիան հավասար է 1 կամ ֊1 կամ 0, այդպիսով հեռացնելով գումարնեից յուրաքանչյուրում մուտքագրումների կեսը։ Այս հավասարումներն իրականում x կոմպլեքս թվերի համար անգամ ընդունելի են, քանի որ երկու կողմերն էլ x֊ի ամբողջական ֆունկցիաներ են (այսինքն հոլոմորֆիկ են ողջ կոմպլեքս հարթության վրա), և երկու այսպիսի ֆունկցիաները, որ համընկնում են իրական առանցքի վրա, անպայմանորեն համընկնում են ամենուրեք։ Ահա n = 2 և n = 3֊ի համար այս հավասարումների կոնկրետ օրինակներ․

$\begin{array}{cccc}\cos (2x)& ={(\cos x)}^2+({(\cos x)}^2-1)& & =2{(\cos x)}^2-1\\ \sin (2x)& =2(\sin x)(\cos x)\\ \cos (3x)& ={(\cos x)}^3+3\cos x({(\cos x)}^2-1)& & =4{(\cos x)}^3-3\cos x\\ \sin (3x)& =3{(\cos x)}^2(\sin x)-{(\sin x)}^3& & =3\sin x-4{(\sin x)}^3\\ \end{array}$

cos(nx)֊ի համար բանաձևի աջ կողմը իրականում T_nՉեբիշեվի բազմանդամի T_n(cos x) արժեքն է cos x֊ով։

Ոչ ամբողջ թվերի համար ձախողում և ընդհանրացում

Մուավրի բանաձևը ուժի մեջ չէ ոչ ամբողջ աստիճանների համար։ Մուավրի բանաձևի ածանցումը ներառում է n ամբողջ թվով բարձրացրած կոմպլեքս թիվ։ Եթե կոմպլեքս թիվը բարձրացրած է ոչ ամբողջ թվով, արդյունքը բազմարժեք ֆունկցիա է (տե՛ս Աստիճանի և լոգարիթմի նույնությունների ձախողում)։ Օրինակ, երբ n = Կաղապար:Sfrac, Մուավրի բանաձևը տալիս է հետևյալ արդյունքները՝

for x = 0 բանաձևը տալիս է 1^{Կաղապար:Frac} = 1, և

for x = 2 բանաձևը տալիս է 1^{Կաղապար:Frac} = −1

Սա սահմանում է երկու տարբեր արժեքներ միևնույն 1^{Կաղապար:Frac} արտահայտության համար, այդպիսով բանաձևը կայուն չէ այս դեպքում։

Մյուս կողմից, 1 և −1 արժեքները երկուսն էլ 1֊ի արմատներն են։ Ավելի ընդհանրական, եթե z֊ը և w֊ն կոմպլեքս թվեր են, ապա

${(\cos z+i\sin z)}^w$

բազմարժեք է, մինչդեռ

$\cos (wz)+i\sin (wz)$

ոչ։ Այնուամենայնիվ, միշտ կա դեպք, որտեղ

$\cos (wz)+i\sin (wz)$

is one value of

${(\cos z+i\sin z)}^w$

Կոմպլեքս թվերի արմատներ

Այս հոդվածում Մուավրի բանաձևի տարբերակի համեստ ընդլայնումը կարող է օգտագործվել կոմպլեքս թվի (equivalently, Կաղապար:Sfracրդ աստիճան) n֊րդ արմատները գտնելու համար։

Եթե z֊ը կոմպլեքս թիվ է գրված հարթության տեսքով որպես

$z=r(\cos (x)+i\sin (x)),$

ապա n n֊րդ արմատները z֊ի տրվում են

$r^{\frac{1}{n}}[\cos \left(\frac{x+2\pi k}{n}\right)+i\sin \left(\frac{x+2\pi k}{n}\right)]$

որտեղ k֊ն ընկած է 0 ֊ից n − 1 ամբողջ թվերի մեջ։

Երբեմն այս բանաձևը հայտնի է որպես Մուավրի բանաձև։

Զուգահեռներ այլ կարգավորումներում

Հիպերբոլիկ եռանկյունաչափություն

Քանի որ Կաղապար:Nowrap, Մուավրի բանաձևի անալոգը ևս հարմար է հիպերբոլիկ եռանկյունաչափությանը։ Բոլոր n ∈ ℤ համար

$(\cosh x+\sinh x{)}^n=\cosh nx+\sinh nx$

Նաև, եթե n ∈ ℚ, ապա Կաղապար:Nowrap մեկ արժեքը կարող է լինել Կաղապար:Nowrap:

Քվատերնիոններ

Քվատերնիոնների արմատը գտնելու համար գոյություն ունի Մուավրի բանաձևի անալոգ։ Հետևյալ տեսքով քվատերնիոնը

$d+a\widehat{𝐢}+b\widehat{𝐣}+c\widehat{𝐤}$

կարող է ներկայացվել

$q=k(\cos \theta +\epsilon \sin \theta )\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}0\le \theta <2\pi$

Այս տեսքում,

$k=\sqrt{d^2+a^2+b^2+c^2},$

և եռանկյունաչափական ֆունկցիաները սահմանվում են որպես

$\cos \theta =\frac{d}{k}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\sin \theta =\pm \frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{k}.$

Այս դեպքում այդ Կաղապար:Nowrap,

$\epsilon =\pm \frac{a\widehat{𝐢}+b\widehat{𝐣}+c\widehat{𝐤}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},$

այսնինքն՝ միավոր վեկտոր։ Սա տանում է Մուավրի բանաձևի բազմաձևության՝

$q^n=k^n(\cos n\theta +\epsilon \sin n\theta ).$

Օրինակ

$Q=1+\widehat{𝐢}+\widehat{𝐣}+\widehat{𝐤},$

խորանարդ արմատ բարձրացնելու համար, քվատերնիոնը պետք է գրել

$Q=2(\cos \frac{\pi }{3}+\epsilon \sin \frac{\pi }{3})\mathrm{w}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}\epsilon =\frac{\widehat{𝐢}+\widehat{𝐣}+\widehat{𝐤}}{\sqrt{3}}.$

Այնուհետև խորանարդ արմատները տրվում են

$\sqrt[3]{Q}=\sqrt[3]{2}(\cos \theta +\epsilon \sin \theta )\theta =\frac{\pi }{9},\frac{7\pi }{9},\frac{13\pi }{9}.$

Ծանոթագրություններ

• Կաղապար:Cite book.

Արտաքին հղումներ

• De Moivre's Theorem for Trig Identities by Michael Croucher, Wolfram Demonstrations Project