Քառակուսացման բանաձևերի ցանկ

Քառակուսացման բանաձևերի ցանկ- տարբեր քառակուսացման բանաձևերի ցանկը՝ թվային ինտեգրման համար։

Նշանակումը

Թվային ինտեգրման բանաձևը ընդհանուր տեսքը հետևյալն է․

\int_{Ω_{x}} f (x) d x = \sum_{i = 1}^{m_{g}} \tilde{w_{i}} f (x_{i}) = \sum_{i = 1}^{m_{g}} w_{i} d e t (J (ξ_{i})) f (x (ξ_{i}))

,

$f (x)$ -ինտեգրվող ֆունկցիան
$w_{i}$ -ինտեգրվող մեծությունը
$ξ$ - վարպետ-տարր կոորդինատային համակարգը․
$J (ξ) = \frac{\partial (x_{1}, \dots, x_{n})}{\partial (ξ_{1}, \dots ξ_{n})}$ Յակոբիի մատրիցա՝ վարպետ-տարրի անցնելու համար։

Ինտեգրալի ադիտիվության հիման վրա, որպես $Ω$ ինտեգրման տիրույթ քննարկվում են պարզ տիրույթներ (եռանկյուն, քառանկյուն, հնգանկյուն)։ Բարդ երկրաչափության դեպքում՝ տիրույթը ներկայացվում է որպես պարզ տիրույթների միություն և հաշվվում են ինտեգրալները ըստ այդ տիրույթների։

Բնական կոորդինատները ներկայացվում են $x, y, z$ փոփոխականներով, իսկ վարպետ-տարրի նշանակման համար՝ $ξ, η, ζ$ ։

Միաչափ ինտեգրալ

Միաչափ ինտեգրումը, դա հատվածով ինտեգրումն է։

Ինտեգրման տիրույթը $[x_{0}, x_{1}]$ հատվածն է․
Կառուցման տարրը $[- 1, 1]$ հատվածն է
Անցում վարպետ-տարրին՝ $ξ (x) = 2 \frac{x - x_{0}}{x_{1} - x_{0}} - 1$ ;
Անցում վարպետ-տարրից՝ $x (ξ) = \frac{(x_{1} - x_{0}) (ξ + 1)}{2} + x_{0}$ ;
Յակոբիի ինտեգրալ՝ $d e t (J (ξ)) = \frac{x_{1} - x_{0}}{2}$ .

Համար	Կետերի քանակ	Ինտեգրման կարգը	$ξ$	$w$	Լրացուցիչ
1	1	1	$0$	$2$	Ուղղանկյունների մեթոդ
2	2	1	$- 1$	$1$	Սեղանների մեթոդ
2	2	1	$1$	$1$	Սեղանների մեթոդ
3	2	3	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	Գաուսի մեթոդ-2
3	2	3	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	Գաուսի մեթոդ-2
4	3	3	$- 1$	$\frac{1}{3}$	Սիմպսոնի մեթոդ
			$0$	$\frac{4}{3}$
			$1$	$\frac{1}{3}$
5	3	5	$- \sqrt{\frac{3}{5}}$	$\frac{5}{9}$	Գաուսի մեթոդ-3
			$0$	$\frac{8}{9}$
			$\sqrt{\frac{3}{5}}$	$\frac{5}{9}$
6	4	7	$- \sqrt{\frac{3}{7} - \frac{2}{7} \sqrt{\frac{6}{5}}}$	$\frac{18 + \sqrt{30}}{36}$	Գաուսի մեթոդ-4
			$\sqrt{\frac{3}{7} - \frac{2}{7} \sqrt{\frac{6}{5}}}$	$\frac{18 + \sqrt{30}}{36}$
			$- \sqrt{\frac{3}{7} + \frac{2}{7} \sqrt{\frac{6}{5}}}$	$\frac{18 - \sqrt{30}}{36}$
			$\sqrt{\frac{3}{7} + \frac{2}{7} \sqrt{\frac{6}{5}}}$	$\frac{18 - \sqrt{30}}{36}$
7	5	9	$0$	$\frac{128}{225}$	Գաուսի մեթոդ-5
			$- \frac{1}{3} \sqrt{5 - 2 \sqrt{\frac{10}{7}}}$	$\frac{322 + 13 \sqrt{70}}{900}$
			$\frac{1}{3} \sqrt{5 - 2 \sqrt{\frac{10}{7}}}$	$\frac{322 + 13 \sqrt{70}}{900}$
			$- \frac{1}{3} \sqrt{5 + 2 \sqrt{\frac{10}{7}}}$	$\frac{322 - 13 \sqrt{70}}{900}$
			$\frac{1}{3} \sqrt{5 + 2 \sqrt{\frac{10}{7}}}$	$\frac{322 - 13 \sqrt{70}}{900}$

Երկչափ ինտեգրալ

Քառակուսի կառուցման տարր

Ինտեգրման տիրույթը՝ ուղղանկյուն $[x_{0}, x_{1}] \times [y_{0}, y_{1}]$
Վարպետ-տարրը՝ քառակուսի $[- 1, 1] \times [- 1, 1]$
Վարպետ-տարրի անցումը․

ξ (x, y) = 2 \frac{x - x_{0}}{x_{1} - x_{0}} - 1

η (x, y) = 2 \frac{y - y_{0}}{y_{1} - y_{0}} - 1

;

Վարպետ-տարրից անցումը․

x (ξ, η) = \frac{(x_{1} - x_{0}) (ξ + 1)}{2} + x_{0}

y (ξ, η) = \frac{(y_{1} - y_{0}) (η + 1)}{2} + y_{0}

;

Յակոբիան․ $d e t (J (ξ, η)) = \frac{(x_{1} - x_{0}) (y_{1} - y_{0})}{4}$ .

Քառակուսով ինտեգրելու բանաձևերից շատերը կարելի է ստանալ, հատվածներով ինտեգրելու բանաձևերի կոմբինացիաներով։ Այդ մեթոդների օրինակներ են հանդիսանում ուղղնկյան, սեղանի և գաուսի -2 մեթոդները։

Համար	Կետերի քանակը	Ինտեգրման կարգը	$ξ$	$η$	$w$	Լրացուցիչ
1	1	1	$0$	$0$	$4$	Ուղղանկյունների մեթոդ (միջինի մեթոդ)
2	4	1	$- 1$	$- 1$	$1$	Սեղանի մեթոդ
			$- 1$	$1$	$1$
			$1$	$- 1$	$1$
			$1$	$1$	$1$
3	4	3	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	Գաուսի մեթոդ 2
			$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
			$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
			$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
4	12	7	$- c$	$0$	$w_{c}$	$a = \sqrt{\frac{114 - 3 \sqrt{583}}{287}}$ $b = \sqrt{\frac{114 + 3 \sqrt{583}}{287}}$ $c = \sqrt{\frac{6}{7}}$ $w_{a} = \frac{307}{810} + \frac{923}{270 \sqrt{583}}$ $w_{b} = \frac{307}{810} - \frac{923}{270 \sqrt{583}}$ $w_{c} = \frac{98}{405}$ Հանգույցների քանակը նվազագույնն էԿաղապար:Sfn։
			$c$	$0$	$w_{c}$
			$0$	$- c$	$w_{c}$
			$0$	$c$	$w_{c}$
			$- a$	$- a$	$w_{a}$
			$a$	$- a$	$w_{a}$
			$- a$	$a$	$w_{a}$
			$a$	$a$	$w_{a}$
			$- b$	$- b$	$w_{b}$
			$b$	$- b$	$w_{b}$
			$- b$	$b$	$w_{b}$
			$b$	$b$	$w_{b}$

Եռանկյուն կառուցման տարր

Ինտեգրման տիրույթը եռանկյուն է կառուցված $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$ գագաթներով ․
Վարպետ-տարրը եռանկյուն է կառուցված $(0, 0), (1, 0), (0, 1)$ գագաթներով .

Վարպետ-տարրին անցնելու համար օգտագործվում է բարոցենտրական կոորդինատները (L-կոորդինատներ), նշանակենք դրանք՝ $λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}$ .

λ_{i} (x, y) = α_{i 1} x + α_{i 2} y + α_{i 3}

L-կոորդինատների գործակիցները հաշվելու համար օգտագործվում է $D$ մատրիցը՝

D = (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})

Գործակիցների $D$ -ին հետ անցման մատրիցը $A = D^{- 1}$ է։

Վարպետ-տարրին անցումը՝

ξ (x, y) = λ_{1} (x, y)

η (x, y) = λ_{2} (x, y)

Վարպետ-տարրրից անցումը՝

(\begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix}) = A (\begin{matrix} ξ \\ η \\ 1 - ξ - η \end{matrix})

Յակոբիան՝ $d e t (J (ξ, η)) = d e t (D)$ .

Համար	Կետերի քանակ	Ինտեգրման կարգը	$ξ$	$η$	$w$	Լրացուցիչ
1	1	1	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	Միջինի մեթոդ
2	3	1	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{6}$	-
			$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$
			$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$
2	3	2	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	Գաուսի մեթոդ-3
			$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$
			$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$
4	4	3	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$- \frac{9}{32}$	Գաուսի մեթոդ 4
			$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{25}{96}$
			$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{25}{96}$
			$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{25}{96}$
5	7	3	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{9}{40}$	Նյուտոն-կոտեսի մեթոդ(Կաղապար:Lang-en)
			$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{15}$
			$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{15}$
			$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{15}$
			$1$	$0$	$\frac{1}{40}$
			$0$	$1$	$\frac{1}{40}$
			$0$	$0$	$\frac{1}{40}$

Եռաչափ ինտեգրալ

Խորանարդային կառուցման տարր

Ինտեգրման տիրույթը $[x_{0}, x_{1}] \times [y_{0}, y_{1}] \times [z_{0}, z_{1}]$ զուգահեռանիստն է․
Վարպետ-տարրը $[- 1, 1] \times [- 1, 1] \times [- 1, 1]$ խորանարդն է․
Անցում վարպետ-տարրին՝

ξ (x, y, z) = 2 \frac{x - x_{0}}{x_{1} - x_{0}} - 1

η (x, y, z) = 2 \frac{y - y_{0}}{y_{1} - y_{0}} - 1

ζ (x, y, z) = 2 \frac{z - z_{0}}{z_{1} - z_{0}} - 1

Անցում վարպետ-տարրից՝

x (ξ, η, ζ) = \frac{(x_{1} - x_{0}) (ξ + 1)}{2} + x_{0}

y (ξ, η, ζ) = \frac{(y_{1} - y_{0}) (η + 1)}{2} + y_{0}

;

z (ξ, η, ζ) = \frac{(z_{1} - z_{0}) (ζ + 1)}{2} + z_{0}

;

Յակոբիան՝ $d e t (J (ξ, η, ζ)) = \frac{(x_{1} - x_{0}) (y_{1} - y_{0}) (z_{1} - z_{0})}{8}$ .

Համար	Կետերի քանակ	Ինտեգրման կարգ	$ξ$	$η$	$ζ$	$w$	Լրացուցիչ
1	1	1	$0$	$0$	$0$	$8$	Ուղղանկյունների մեթոդ (միջինի մեթոդ)
2	8	3	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	Գաուսի մեթոդ-2
			$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
			$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
			$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
			$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
			$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
			$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
			$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$
3	14	5	$- \sqrt{\frac{19}{30}}$	$0$	$0$	$\frac{320}{361}$	Ապրոքսիմացիայի 5-րդ կարգի բանաձևերի դասում պարունակող հանգույցների քանակԿաղապար:Sfn։
			$\sqrt{\frac{19}{30}}$	$0$	$0$	$\frac{320}{361}$
			$0$	$- \sqrt{\frac{19}{30}}$	$0$	$\frac{320}{361}$
			$0$	$\sqrt{\frac{19}{30}}$	$0$	$\frac{320}{361}$
			$0$	$0$	$- \sqrt{\frac{19}{30}}$	$\frac{320}{361}$
			$0$	$0$	$\sqrt{\frac{19}{30}}$	$\frac{320}{361}$
			$- \sqrt{\frac{19}{33}}$	$- \sqrt{\frac{19}{33}}$	$- \sqrt{\frac{19}{33}}$	$\frac{121}{361}$
			$- \sqrt{\frac{19}{33}}$	$- \sqrt{\frac{19}{33}}$	$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\frac{121}{361}$
			$- \sqrt{\frac{19}{33}}$	$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$- \sqrt{\frac{19}{33}}$	$\frac{121}{361}$
			$- \sqrt{\frac{19}{33}}$	$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\frac{121}{361}$
			$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$- \sqrt{\frac{19}{33}}$	$- \sqrt{\frac{19}{33}}$	$\frac{121}{361}$
			$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$- \sqrt{\frac{19}{33}}$	$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\frac{121}{361}$
			$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$- \sqrt{\frac{19}{33}}$	$\frac{121}{361}$
			$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\sqrt{\frac{19}{33}}$	$\frac{121}{361}$

Քանի որ բարձր կարգի ինտեգրալները մեծ քանակով կետեր են պարունակում ՝ դրանք կդիտարկենք առանձին։

Կարգ 7, կետերի քանակը 34․

Կետի համար	$ξ$	$η$	$ζ$	$w$	Լրացուցիչ
1	$a$	$0$	$0$	$w_{1}$	$a = \sqrt{\frac{6}{7}}$ , $b = \sqrt{\frac{960 - 33 \sqrt{238}}{2726}}$ , $c = \sqrt{\frac{960 + 33 \sqrt{238}}{2726}}$ , $w_{1} = \frac{1078}{3645}$ , $w_{2} = \frac{343}{3645}$ , $w_{3} = \frac{43}{135} + \frac{829 \sqrt{238}}{136323}$ , $w_{4} = \frac{43}{135} - \frac{829 \sqrt{238}}{136323}$
2	$- a$	$0$	$0$	$w_{1}$
3	$0$	$a$	$0$	$w_{1}$
4	$0$	$- a$	$0$	$w_{1}$
5	$0$	$0$	$a$	$w_{1}$
6	$0$	$0$	$- a$	$w_{1}$
7	$a$	$a$	$0$	$w_{2}$
8	$a$	$- a$	$0$	$w_{2}$
9	$- a$	$a$	$0$	$w_{2}$
10	$- a$	$- a$	$0$	$w_{2}$
11	$a$	$0$	$a$	$w_{2}$
12	$a$	$0$	$- a$	$w_{2}$
13	$- a$	$0$	$a$	$w_{2}$
14	$- a$	$0$	$- a$	$w_{2}$
15	$0$	$a$	$a$	$w_{2}$
16	$0$	$a$	$- a$	$w_{2}$
17	$0$	$- a$	$a$	$w_{2}$
18	$0$	$- a$	$- a$	$w_{2}$
19	$b$	$b$	$b$	$w_{3}$
20	$b$	$b$	$- b$	$w_{3}$
21	$b$	$- b$	$b$	$w_{3}$
22	$b$	$- b$	$- b$	$w_{3}$
23	$- b$	$b$	$b$	$w_{3}$
24	$- b$	$b$	$- b$	$w_{3}$
25	$- b$	$- b$	$b$	$w_{3}$
26	$- b$	$- b$	$- b$	$w_{3}$
27	$c$	$c$	$c$	$w_{4}$
28	$c$	$c$	$- c$	$w_{4}$
29	$c$	$- c$	$c$	$w_{4}$
30	$c$	$- c$	$- c$	$w_{4}$
31	$- c$	$c$	$c$	$w_{4}$
32	$- c$	$c$	$- c$	$w_{4}$
33	$- c$	$- c$	$c$	$w_{4}$
34	$- c$	$- c$	$- c$	$w_{4}$

Քառանիստ վարպետ տարր

Ինտեգրման տիրույթը՝ քառանիստ է $(x_{1}, y_{1}, z_{1}), (x_{2}, y_{2}, z_{2}), (x_{3}, y_{3}, y_{3}), (x_{4}, y_{4}, z_{4})$ գագաթներով։
Վարպետ-տարրը՝ քառաննիստ է $(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$ գագաթներով։

Եռանկայն նման այստեղ էլ վարպետ-տարրին անցնելու համար օգտվում են քառանիստի L-կոորդինատից, որոնց կնշանակենք $λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, λ_{4}$ :

λ_{i} (x, y, z) = α_{i 1} x + α_{i 2} y + α_{i 3} z + α_{i 4}

Գործակիցների մատրիցան որոշվում է որպես $A = D^{- 1}$ , որտեղ

D = (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} & y_{4} \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} & z_{4} \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix})

Անցում վարպետ-տարրի՝

ξ (x, y, z) = λ_{1} (x, y, z)

η (x, y, z) = λ_{2} (x, y, z)

ζ (x, y, z) = λ_{3} (x, y, z)

Վարպետ-տարրից անցում՝

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}) = D (\begin{matrix} ξ \\ η \\ ζ \\ 1 - ξ - η - ζ \end{matrix})

Յակոբիան՝ $d e t (J (ξ, η, ζ)) = d e t (D)$ .

Համար	Կետերի քանակ	Ինտեգրման կարգ	$ξ$	$η$	$ζ$	$w$	Լրացուցիչ
1	1	1	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$	Միջինի մեթոդ
2	4	3	$\frac{5 + 3 \sqrt{5}}{20}$	$\frac{5 - \sqrt{5}}{20}$	$\frac{5 - \sqrt{5}}{20}$	$\frac{1}{24}$	Գաուսի մեթոդ-4
			$\frac{5 - \sqrt{5}}{20}$	$\frac{5 + 3 \sqrt{5}}{20}$	$\frac{5 - \sqrt{5}}{20}$	$\frac{1}{24}$
			$\frac{5 - \sqrt{5}}{20}$	$\frac{5 - \sqrt{5}}{20}$	$\frac{5 + 3 \sqrt{5}}{20}$	$\frac{1}{24}$
			$\frac{5 - \sqrt{5}}{20}$	$\frac{5 - \sqrt{5}}{20}$	$\frac{5 - \sqrt{5}}{20}$	$\frac{1}{24}$
3	11	4	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$- \frac{74}{5625}$	Գաուսի մեթոդ-11
			$\frac{11}{14}$	$\frac{5}{70}$	$\frac{5}{70}$	$\frac{343}{45000}$
			$\frac{5}{70}$	$\frac{11}{14}$	$\frac{5}{70}$	$\frac{343}{45000}$
			$\frac{5}{70}$	$\frac{5}{70}$	$\frac{11}{14}$	$\frac{343}{45000}$
			$\frac{5}{70}$	$\frac{5}{70}$	$\frac{5}{70}$	$\frac{343}{45000}$
			$\frac{1 + \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{1 - \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{1 - \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{56}{2250}$
			$\frac{1 - \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{1 + \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{1 - \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{56}{2250}$
			$\frac{1 - \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{1 - \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{1 + \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{56}{2250}$
			$\frac{1 - \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{1 + \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{1 + \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{56}{2250}$
			$\frac{1 + \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{1 - \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{1 + \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{56}{2250}$
			$\frac{1 + \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{1 + \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{1 - \sqrt{5 / 14}}{4}$	$\frac{56}{2250}$

Ծանոթագրություններ

Կաղապար:Ծանցանկ

Գրականություն

Կաղապար:Книга

Արտաքին հղումներ

Քառակուսացման բանաձևերի ցանկ

Բովանդակություն

Նշանակումը

Միաչափ ինտեգրալ