Էյլերյան ինտեգրալներ

Էյլերյան ինտեգրալներ, բետա $(B(x,y))$ և գամմա $(\mathrm{\Gamma }(x))$ ֆունկցիաների ընդհանուր անվանումը։ Բետա և գամմա ֆունկցիաները $x$ և $y$ արգումենտների դրական արժեքների համար սահմանվում են $\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}dt$ և $\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{\mathrm{0}}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-1}{t}^{x-1}dt$ բացարձակ զուգամետ ինտեգրալների միջոցով և անընդհատ են համապատասխանաբար հարթության ($x>0,y>0$) մասում և $(0,+\mathrm{\infty })$ կիսառանցքի վրա։ $B(x,y)$և $(\mathrm{\Gamma }(x))$ ֆունկցիաները համապատասխանաբար բինոմային գործակիցների $(C_m^n)$ և ֆակտորիալի $(n!)$ գաղափարները ընդհանրացնում են անընդհատ փոփոխվող արգումենտի համար։ Մասնավոր դեպքում, երբ $x,y$-ը բնական թվեր են՝ $B(n,m)=\frac{1}{m{C}_{m+n-1}^{n-1}},\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$: Էյլերյան ինտեգրալների միջև $B(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)\mathrm{\Gamma }(y)}{\mathrm{\Gamma }(x+y)}$ կապի շնորհիվ $B(x,y)$ ֆունկցիայի ուսումնասիրությունը բերում է $\mathrm{\Gamma }(x)$-ի ուսումնասիրությանը։ Ունեն լայն կիրառություն, մեծ դեր են խաղում հատուկ ֆունկցիաների տեսությունում։ Էյլերյան ինտեգրալների առաջին անգամ ուսումնասիրել են Ի. Նյուտոնն ու Ջ. Վալիսը։ Հետագայում դրանք ավելի մանրամասն ուսումնասիրել է Լ. Էյլերը։ Էյլերյան ինտեգրալներ անվանումը տվել է մաթեմատիկոս Լեժանդրը։