Լեբեգի ինտեգրալ

Ինտեգրումը ըստ Ռիմանի (վերև) և ըստ Լեբեգի (ներքև)

Լեբեգի ինտեգրալ, արդի մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից։ Դիցուք $A_1,....,A_n$-ը $[a,b]$ հատվածի որևէ չափելի տրոհում է, այսինքն $A_1$ բազմությունները չափելի են (տես Չափ բազմության), զույգ առ զույգ չեն հատվում և նրանց գումարը $[a,b]$-ն է։

$S(x)$-ը կոչվում է պարզ ֆունկցիա, եթե $A_1$-ի վրա հաստատուն է, ասենք, հավասար է $a_1$: $S(x)$-ի Լեբեգի ինտեգրալը կոչվում է $\sum _{i=1}^n{Q}_i\mu A_i$ արտահայտությունը և նշանակվում՝ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}S(x)dx$ ($\mu$-ն լեբեգյան չափն է)։ Եթե $f(x)$-ը ոչ բացասական և չափելի ֆունկցիա է, ապա ըստ սահմանման $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{0⩽S⩽f}{\sup }\underset{a}{\overset{b}{\int }}S(x)dx$, որտեղ supremum-ը վերցվում է բոլոր հնարավոր չափելի պարզ ֆունկցիաների $(0⩽S⩽f)$ դասում։

Քանի որ կամայական չափելի $f(x)$-ը ներկայացվում է ոչ բացասական չափելի ֆունկցիաների տարբերությամբ՝ $f_1-f_2$, ապա $f(x)$-ի Լեբեգի ինտեգրալ են անվանում$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_1(x)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_2(x)dx$ արտահայտությունը ($\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ դեպքը բացառվում է) և նշանակում՝ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ կամ $(L)\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$: Լեբեգի ինտեգրալի այս սահմանումը պիտանի է շատ ավելի ընդհանուր իրավիճակում, մասնավորապես, եթե $[a,b]$-ն փոխարինվի $(a,+\mathrm{\infty }),(-\mathrm{\infty },b),(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ բազմություններով։ Այս դեպքում ստացվող ընդհանրացումները պարունակում են Ռիմանի բացարձակ զուգամետ (բայց ոչ պայմանական) անիսկական ինտեգրալները։ Ռիմանի իմաստով ինտեգրելի ֆունկցիան ինտեգրելի է նաև Լեբեգի իմաստով (հակառակը ճիշտ չէ) և այդ ինտեգրալները համընկնում են։ Եթե $(L)\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ վերջավոր է, ապա $f$-ը կոչվում է հանրագումարելի ֆունկցիա։ Մաթեմատիկական առօրյայում հանդիպող բոլոր սահմանափակ ֆունկցիաները հանրագումարելի են։ Լեբեգի ինտեգրալի հիմնական արժանիքներից է այն, որ բավական «ճկուն» է սահմանային գործողություններ կատարելիս։ Օրինակ, եթե $f_n,g$ ֆունկցիաները հանրագումարելի են, $|f_n|⩽g,f_n\to f$ եթե $n\to \mathrm{\infty }$, ապա $f$-ը նույնպես հանրագումարելի է և $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_n(x)dx{\to }_{n\to \mathrm{\infty }}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$:

Լեբեգի ինտեգրալը զգալիորեն լայնացրեց դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվի հիմնական՝ նախնական ֆունկցիան գտնելու բանաձևի շրջանակները

Տես նաև

• Ինտեգրալ հաշիվ