Բազմության չափ

Բազմության չափ, մաթեմատիկական հասկացություն, որը «երկարություն», «մակերես», «ծավալ» հասկացությունների ընդհանրացումը–տարածումն է ավելի լայն դասի կետային, ինչպես նաև կամայական տարրերից կազմված բազմությունների որոշ դասերի (այսպես կոչված $\sigma$-հանրահաշիվների) վրա։ Մաթեմատիկական անալիզում հիմնականում օգտագործում են Լեբեգի Ստիլտյեսի չափերը, որոնք $R^1$–ում կարելի է սահմանել այսպես, դիտարկում են $R^1=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ իրական առանցքի վրա չնվազող և ձախից անընդհատ որևէ $g(x)$ ֆունկցիա, $[a,b)=x,a⩽x<b$ տեսքի միջակայքերի չափ համարում են $m_g([a,b))=g(b)-g(a)$ մեծությունը (թիվը), իսկ կամայական $E(E\subset R^1)$ բազմության արտաքին չափ համարում են ${\mu }_g^{*}(E)=inf(\sum _g(b_n)-g(a_n))$ թիվը, որտեղ $inf$-ը վերցված է ըստ $E$ բազմությունը ծածկող հնարավոր բոլոր $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n,b_n)$ տեսքի բազմությունների։

$E$ սահմանափակ բազմությունն անվանում են չափելի բազմություն, եթե յուրաքանչյուր $\epsilon (\epsilon >0)$ թվի համար գոյություն ունի $B=\bigcup _{k=1}^n[a_k,b_k)$ տեսքի՝ վերջավոր թվով $[a_k,b_k)$ միջակայքերի միավորում հանդիսացող այնպիսի բազմություն, որ ${\mu }_g^{*}((E/B)\cup (B/E))<\epsilon$։

$E$ չափելի բազմության չափ անվանում են ${\mu }_g^{*}$ թիվը և նշանակում են ${\mu }_g$ -ով՝ ${\mu }_g={\mu }_g^{*}$։

Ոչ սահմանափակ $E$ բազմությունը կոչվում է չափելի, եթե $[a,b)\cap E$ սահմանափակ բազմությունը չափելի է կամայական $[a,b)$-ի համար, ընդ որում այդպիսի $E$ բազմության չափ անվանում են

${\mu }_g(E)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_g([-k,-k+1)\cap E)+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_g([k-1,k)\cap E)$ թիվը (դատարկ բազմության չափն ընդունում են հավասար զրոյի)։

Ապացուցվում է, որ ամեն մի $g(x)$ ֆունկցիայի միջոցով սահմանված չափելի բազմությունների $M_g$ դասը և այդ դասի վրա որոշված (սահմանված) ${\mu }_g$ չափն ունեն հետևյալ հատկությունները․

1. ) $R^1\in Mg,[a,b)\in Mg(R^1$-ը և $[a,b)$-ն չափելի են,
2. ) Եթե $E\in Mg$, ապա $R^1/E\in Mg$,
3. ) Եթե $E_k\in Mg(k=1,2,....),$ ապա $\bigcup _{k=1}^n{E}_k\in Mg$
4. ) ${\mu }_g(E)⩾0,\mathrm{\forall }(E\in Mg),{\mu }_g([a,b))=g(b)-g(a)$
5. ) ${\mu }_g(\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_k)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_g(E_k),E_k\in Mg(k=1,2,....),E_k\cap E_m=\varnothing (k\ne m)$։

(1–3) հատկությունները նշանակում են, որ $Mg$ դասը (անկախ $g(x)$-ից) $\sigma$-հանրահաշիվ է, որը պարունակում է $[a,b)$ տեսքի միջակայքերը, ուստի $Mg$-ն պարունակում է $[a,b)$ տեսքի միջակայքերը պարունակող նվազագույն $\sigma$-հանրահաշիվը, այսինքն՝ բորելյան բազմությունների $\epsilon$ դասը։ Այսպիսով բոլոր $g(x)$ ֆունկցիաների համար ${\mu }_{g}g$ չափերը որոշված են $\epsilon$ դասի վրա։

$g(x)=x$ մասնավոր դեպքում՝ $M_x=M$ դասի բազմություններն անվանում են Լեբեգի իմաստով (ըստ Լեբեգի) չափելի բազմությունները, իսկ ${\mu }_x=\mu$–ն` Լեբեգի չափ։ Քանի որ ${\mu }_x([a,b))=b-a$, ապա Լեբեգի չափը հատվածի երկարության հասկացության ընդհանրացումն է կետային բավականաչափ լայն $M$ դասի բազմությունների համար։ Հանգունորեն սահմանում են չափեր հարթության վրա՝ $R^2$-ում և $R^n$-ում $(n>2)$։

Մաթեմատիկայի շատ բաժինների, օրինակ, հավանականությունների տեսության, զարգացումը հանգեցրեց այսպես կոչված չափի աբստրակտ տեսության ստեղծմանը։ Վերջինիս մեջ «չափելի բազմություն» և «չափ» հասկացությունները մտցվում են աքսիոմատիկ․

Եթե $X$-ը կամայական տարրերից կազմված բազմություն է, իսկ $S$–ը $X$-ի ենթաբազմություններից կազմված $\sigma$-հանրահաշիվ, այսինքն՝

1. ) $X\in S$, և եթե $E\in S$, ապա $X/E\in S$,
2. ) Եթե $E_k\in S(k=1,2,....)$, ապա $\bigcup _{k=1}^n{E}_k\in S$ ($S$–ին պատկանող բազմություններին անվանում են չափելի), ապա $S$–ի վրա որոշված $\mu$ (բազմության) ֆունկցիան անվանում են չափ, եթե՝
3. ) $\mu (E)⩾0,\mathrm{\forall }E\in S$,
4. ) $\mu (\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_k)=\bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (E_k),E_k\in S(k=1,2,....)E_k\cap E_m=\varnothing (k\ne m)$

$(X,S)$-զույգը անվանում են չափելի տարածություն։

Չափի միջոցով սահմանվում է «ինտեգրալ» հասկացությունը, օրինակ, Լեբեգի չափի միջոցով մտցվում է Լեբեգի ինտեգրալը:

Գրականություն

• Халмош П․ Р․, Теория меры, пер․ с англ․, М․, 1953․