Թվաբանական պրոգրեսիա

Թվաբանական պրոգրեսիան թվային հաջորդականություն է, որն ունի հետևյալ տեսքը՝

a_{1}, a_{1} + d, a_{1} + 2 d, \dots, a_{1} + (n - 1) d, \dots

,

այսինքն այնպիսի հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամը (բացի առաջինից) ստացվում է նախորդ անդամին միևնույն $d$ թիվը գումարելով՝

a_{n} = a_{n - 1} + d

Ցանկացած (n-րդ) անդամը որոշվում է ընդհանուր անդամի բանաձևով՝

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Թվաբանական պրոգրեսիան մոնոտոն է, այսինքն աճում է $d > 0$ դեպքում և նվազում $d < 0$ դեպքում։

Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամի բանաձևը՝

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

, որտեղ

a_{1}

-ն առաջին անդամն է, իսկ

d

-ն՝ նրա տարբերությունը։

Առաջին $n$ անդամների գումարը

Թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին $n$ անդամների գումարը $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

, որտեղ

a_{1}

-ը — պրոգրեսիայի առաջին անդամն է,

a_{n}

-ը —

n

-րդ անդամը,

n

-ը — գումարման ենթակա անդամների քանակը.

S_{n} = \frac{2 a_{1} + (n - 1) d}{2} \cdot n

, որտեղ

a_{1}

-ը — առաջին անդամն է,

d

-ն — պրոգրեսիայի տարբերությունը,

n

— գումարման ենթակա անդամների քանակը.

Ապացույց.

Գրառենք տվյալ գումարը երկու եղանակով։ $S_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_{n}$

$S_{n} = a_{n} + a_{n - 1} + a_{n - 2} + \dots + a_{3} + a_{2} + a_{1}$ - նույն գումարը հակառակ կարգով.

Այժմ գումարենք երկու հավասարություններն իրար (աջ մասում նույն ուղղահայացի տակ գտնվող գումարելիները հաջորդաբար իրար գումարելով)՝

$2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{2} + a_{n - 1}) + (a_{3} + a_{n - 2}) + \dots + (a_{n - 2} + a_{3}) + (a_{n - 1} + a_{2}) + (a_{n} + a_{1})$

Ստացված բոլոր գումարելիներն իրար հավասար են՝ $a_{i} + a_{n - i + 1}, i = 1, 2, \dots, n$

Օգտվելով ընդհանուր անդամի բանաձևից կստանանք՝

$a_{i} + a_{n - i + 1} = a_{1} + (i - 1) d + a_{1} + (n - i + 1 - 1) d = 2 a_{1} + (n - 1) d, i = 1, 2, \dots, n$

որտեղ յուրաքանչյուր անդամ անկախ հերթականությունից հավասար է $2 a_{1} + (n - 1) d$ ։ Մասնավորապես, $a_{1} + a_{n} = 2 a_{1} + (n - 1) d$ ։

Քանի որ ընդհանուր անդամների քանակն է $n$ , ուրեմն

$2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) \cdot n \Rightarrow S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n$