Կավարի տեսություն

Կավարի տեսություն, մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է մասնակի կարգավորված բազմությունների հանրահաշվական հատկությունները։ Կամայական ոչ դատարկ $A$ բազմության վրա որոշված երկտեղանի $⩽$ հարաբերությունը կոչվում է մասնակի կարգ, իսկ {$A,⩽$} համակարգը՝ մասնակի կարգավորված բազմություն, եթե $A$-ի կամայական $a,b,c$ տարրերի համար բավարարված են հետևյալ պայմանները.

1. $a⩽a$,
2. եթե $a⩽b$ և $b⩽c$, ապա $a⩽c$,
3. եթե a\leqslant b և $b⩽a$, ապա $a=b$։

Եթե $a⩽b$, բայց $a$-ն հավասար չէ $b$-ին, ապա ասում են, որ $a$-ն խիստ փոքր է $b$-ից և նշանակում՝ $a<b$։ $A$ բազմությունը կոչվում է {$A,⩽$} համակարգի հիմք։ Վերջավոր հիմք ունեցող մասնակի կարգավորված բազմությունը երբեմն հարմար է ներկայացնել գծագրի միջոցով՝ տարրերը տեղադրելով շերտ առ շերտ վարից վեր ըստ աճի և միմյանց միացնելով այն տարրերը, որոնք հարևան են ըստ կարգի, օրինակ՝ {$A,⩽$} համակարգը կոչվում է կավար, եթե $A$-ի կամայական $a,b$ տարրերի համար բավարարված են հետևյալ երկու պայմանները՝

ա. գոյություն ունի $A$-ին պատկանող $a,b$ տարրերի ճշգրիտ վերին կոպարը ըստ $⩽$ հարաբերության

բ. գոյություն ունի $A$-ին պատկանող $a,b$ տարրերի ճշգրիտ ստորին կոպարը ըստ $⩽$ հարաբերության

$a,b$ տարրերի ճշգրիտ վերին կոպարը սովորաբար նշանակում են $a\vee b$, իսկ ստորինը՝ $a\wedge b$։ {$A,⩽$} համակարգը կոչվում է վերին կիսակավար, եթե բավարարում է միայն ա. պայմանին, և ստորին կիսակավար, եթե բավարարում է միայն բ. պայմանին։ Գծագրում պատկերված համակարգը վերին կիսակավար է, բայց կավար չէ, որովհետև α և φ տարրերը չունեն ճշգրիտ ստորին կոպար։ Կավարի օրինակ է բոլոր բնական թվերի բազմությունը իր բնական կարգի հետ միասին, այդ դեպքում՝ $a\vee b=max(a,b)$, $a\wedge b=min(a,b)$։ Կավարը կոչվում է լրիվ, եթե նրա հիմքի յուրաքանչյուր ոչ դատարկ ենթաբազմություն ունի թե՝ ճշգրիտ վերին և թե՝ ճշգրիտ ստորին կոպար։ Վերջավոր հիմքով կավարները միշտ լրիվ են։ Բնական թվերով վերոհիշյալ կավարը լրիվ չէ։ $[a,b]$ հատվածը, որտեղ $a,b$-ն իրական թվեր են և $a<b$, իր բնական կարգի հետ միասին կազմում է լրիվ կավար։ Եթե {$A,⩽$} մասնակի կարգավորված բազմության համար գոյություն ունի այնպիսի $a\in A$ տարր, որ կամայական $b\in A$ բավարարում է $b⩽a$ պայմանին, ապա $a$-ն կոչվում է {$A,⩽$} համակարգի առավելագույն տարր։ Հանգունորեն սահմանվում է նվազագույն տարրը։ Գծագրում $\delta$-ն առավելագույն տարր է, իսկ նվազագույն տարր գոյություն չունի։ Առավելագույն տարրը նշանակում են $1$ նշանով, նվազագույնը՝ $0$ նշանով։ Եթե $a\in A$ և գոյություն չունի այնպիսի $b\in A$, որ $a<b$, ապա $a$ տարրը անվանում են մաքսիմալ։ Նման ձևով սահմանվում է մինիմալ տարրը։ Գծագրում $\delta$-ն մաքսիմալ տարր է, իսկ $\alpha$ և $\phi$ տարրերը՝ մինիմալ։

Կավարը կոչվում է բաշխական, եթե նրա կամայական $a,b,c$ տարրերի համար տեղի ունի $a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c)$ առընչություն։ Կավարի տեսությունում մեծ դեր են խաղում այնպիսի կավարները (կոչվում են լրացումներով կավարներ), որոնք բաշխական են, ունեն $0$ և $1$, յուրաքանչյուր $a\in A$ տարրին համապատասխանում է այնպիսի $\overline{a}\in A$ տարր, որ $a\vee \overline{a}=1$ և $a\wedge \overline{a}=0$։ Լրացումներով բաշխական կավարները, որ կոչվում են բուլյան կավարներ (նաև բուլյան հանրահաշիվներ), Կավարի տեսության խորապես զարգացած բաժիններից են և լայն կիրառություններ ունեն մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառներում, տեխնիկայում։ Պարզագույն բուլյան կավարների հիմքը բաղկացած է միայն երկու տարրից՝ $0,1$, և կոչվում է երկարժեք բուլյան հանրահաշիվ։ Կավարի տեսության գաղափարներն ու մեթոդները լայն կիրառություններ են գտել հանրահաշվի մաթեմատիկական տրամաբանության, պրոյեկտիվ և աֆինական երկրաչափությունների, չափի տեսության, ֆունկցիոնալ անալիզի, տոպոլոգիայի, հավանականությունների տեսության, քվանտային ու ալիքային մեխանիկայի, հարաբերականության տեսության մեջ։ Պատմականորեն կավարների ուսումնասիրությունն սկսել է անգլիական մաթեմատիկոս Ջորջ Բուլը 1847-ին, որը հետագայում բուլյան հանրահաշիվ կոչված կավարների հատկությունները կիրառել է իր ստեղծած ասույթների տրամաբանության մեջ։ Կավարի գաղափարի արդի սահմանումը տվել է գերմանական մաթեմատիկոս Էրնստ Շրյոդերը, 1890-ին։

Գրականություն

• Բիրկգոֆ Գ., «Теория Структур», Մոսկվա, 1952
• Սկրոնյակով Լ. Ա., «Элементы теории структур», Մոսկվա, 1970
• Սիկորսկի Ռ., Булевы алгебры, пер.с англ., Մոսկվա, 1969