Պորտալ:Մաթեմատիկա/Ընտրյալ հոդված

Ապոլոնիուսի թեորեմի ապացույցը

Ապոլոնիուսի թեորեմը կապ է հաստատում եռանկյան միջնագծի և նրա կողմերի երկարությունների միջև։

Ցանկացած ABC եռանկյան համար, որտեղ AD-ն միջնագիծ է,

$A{B}^2+A{C}^2=2(A{D}^2+B{D}^2).$

Սա Ստյուարտի թեորմեի մասնավոր դեպք է։ Հավասարասրուն եռանկյան դեպքում այն վերածվում է Պյութագորասի թեորեմի։ Քանի որ զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվելիս կիսում են իրար, Ապոլոնիուսի թեորեմը համարժեք է զուգահեռագծերի օրենքին։

Թեորեմը իր անունը կրում է հին հույն գիտնական Ապոլոնիուսի պատվին։

Այս թեորեմը կարելի է դիտարկել որպես Ստյուարտի թեորեմ մասնավոր դեպք, այն կարելի է ապացուցել վեկտորների միջոցով։ Ստորև բերվում է մեկ այլ ապացույց, որն օգտագործում է կոսինուսների թեորեմը։

Դիցուք a-ն, b-ն և c-ն որևէ եռանկյան կողմերն են, իսկ d-ն a-ին տարված միջնագիծն է։ Միջնագիծը a-ն կբաժանի երկու m = 1/2 a երկարությամբ հատվածների։ a-ի և d-ի միջև ընկած անկյունը նշանակենք θ, իսկ θ′-ով նշանակենք նրա կից անկյունը (հետևաբար, cos θ′ = −cos θ)։ Օգտվենք կոսինուսների թեորեմից՝ θ և θ′ անկյունների համար.

$\begin{array}{cc}{b}^2& =m^2+d^2-2dm\cos \theta \\ c^2& =m^2+d^2-2dm\cos {\theta }^{\prime }\\ & =m^2+d^2+2dm\cos \theta .\end{array}$

Այս երկու հավասարությունները գումարելով՝ կստանանք

$b^2+c^2=2m^2+2d^2$

որն էլ որ պահանջվում էր ապացուցել։ (մանրամասն․․․)