Անընդհատ ֆունկցիա

Անընդհատ ֆունկցիա , $[a,b]$ հատվածի վրա որոշված մեկ իրական փոփոխականի

$y=f(x)$

ֆունկցիան կոչվում է անընդհատ $[a,b]$-ի $x_0$ կետում, եթե

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$

սահմանը գոյություն ունի և հավասար է $f(x_0)$–ի, կամ, համարժեքորեն, եթե յուրաքանչյուր $\epsilon >0$ թվի համար գոյություն ունի այնպիսի $\delta >0$ թիվ, որ

$|x-x_0|<\delta$

անհավասարությունից հետևում է

$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$,

որտեղ $x\in [a,b]$։

Եթե $f(x)$–ն անընդհատ չէ $x_0$ կետում, ապա կոչվում է խզվող այդ կետում։

Ֆունկցիան անընդհատ է $[a,b]$-ում, եթե այն անընդհատ է $[a,b]$-ի յուրաքանչյուր կետում։ Համանման եղանակով սահմանվում է նաև մի քանի իրական փոփոխականների ֆունկցիաների անընդհատությունը։ Բոլոր տարրական ֆունկցիաներն անընդհատ են իրենց որոշման տիրույթներում։

Մասնավորաբար, բազմանդամը, $\sin x,\cos x,a^x(a>0)$ և այլն ֆունկցիաներն անընդհատ են թվային առանցքի յուրաքանչյուր կետում։ Եթե $f(x)$, $g(x)$ ֆունկցիաներն անընդհատ են $[a,b]$-ում, ապա

$f(x)\cdot g(x),f(x)+g(x),\alpha f(x)$

ֆունկցիաները, որտեղ $\alpha$-ն իրական թիվ է, ևս անընդհատ են $[a,b]$-ում։

Եթե բացի այդ $g(x)$–ը զրո չի դառնում $[a,b]$-ի ոչ մի կետում, ապա

$\frac{f(x)}{g(x)}$-ը ևս անընդհատ է $[a,b]$-ում։

Եթե $f(x)$ ֆունկցիան անընդհատ է $[a,b]$-ում, ապա գոյություն ունեն $[a,b]$–ի այնպիսի $c$ և $d$ կետեր, որ կամայական $x\in [a,b]$ կետի համար $f(c)⩽f(x)⩽f(d)$, ընդ որում $f(x)$–ն ընդունում է $[f(c),f(d)]$ հատվածին պատկանող յուրաքանչյուր արժեք։ Անընդհատ ֆունկցիան կարելի է հավասարաչափ մոտարկել բազմանդամներով։

Պարզվում է, որ այդ հատկությունը բնորոշ է միայն անընդհատ ֆունկցիայի համար, և այն կարելի է դնել հատվածում անընդհատ ֆունկցիայի սահմանման հիմքում («կոնստրուկտիվ» սահմանում)։

Տես նաև

• Անընդհատ արտապատկերում