Արտապատկերում

Արտապատկերում, ժամանակակից մաթեմատիկայի հիմնական գաղափարներից։ Եթե $X$ բազմության յուրաքանչյուր $x$ տարրի ինչ–որ ձևով համապատասխանեցված է $Y$ բազմության որոշակի $y$ տարր, ապա այդ համապատասխանությունն անվանում են $X$ բազմության արտապատկերում $Y$-ի մեջ և գրում $f:X\to Y$, ընդ որում $y$-ն անվանում են $x$-ի պատկեր և նշանակում $y=f(x)$ (չի բացառվում, որ $X$-ի տարբեր տարրեր ունենան միևնույն պատկերը)։ Եթե $f$ արտապատկերումն այնպիսին է, որ $X$-ի տարբեր տարրերի պատկերները տարբեր են, ապա $f$-ը կոչվում է ինյեկտիվ, իսկ եթե $Y$-ի յուրաքանչյուր տարր $X$-ի որևէ տարրի պատկեր է, ապա $f$-ը կոչվում է սյուրյեկտիվ։ Եթե $f$-ը միաժամանակ և՛ ինյեկտիվ է, և՛ սյուրյեկտիվ, ապա այն կոչվում է բիյեկտիվ։ Օրինակ, եթե յուրաքանչյուր իրական թվի համապատասխանեցնենք նրա քառակուսին, ապա կունենանք բոլոր իրական թվերի $X$ բազմության արտապատկերում $X$-ի մեջ։ Այս արտապատկերումը ինյեկտիվ չէ, որովհետև երկու տարբեր իրական թվեր՝ $\sqrt{x}$-ը և $-\sqrt{x}$-ը ($x\ge 0$) ունեն միևնույն պատկերը։ Այն նաև սյուրյեկտիվ չէ, քանի որ ոչ մի բացասական թիվ որևէ իրական թվի պատկեր չէ։ Սակայն հիշյալ համապատասխանությունը, դիտարկված միայն դրական թվերի $A$ բազմության վրա, $A$-ի բիյեկտիվ արտապատկերում է $A$-ի վրա, որովհետև տարբեր դրական թվերի պատկերները տարբեր են և յուրաքանչյուր $x$ դրական թվի համար գոյություն ունի դրական թիվ՝ $\sqrt{x}$-ը, որի պատկերը $x$-ն է։

$X$-ի բոլոր այն տարրերի բազմությունը, որոնց պատկերները $f$ արտապատկերման դեպքում ընկած են $Y$-ի $B$ ենթաբազմության մեջ, կոչվում է $B$ ենթաբազմության նախապատկեր և նշանակվում է $f^{-2}(B)$։

$Y$-ի բոլոր այն տարրերի բազմությունը, որոնցից յուրաքանչյուրը $X$-ի $A$ ենթաբազմության ինչ–որ տարրի պատկերն է, կոչվում է $A$ ենթաբազմության պատկեր և նշանակվում է $f(A)$։

Եթե $f:X\to Y$ ինյեկտիվ արտապատկերում է, ապա $f(X)=Y^{\prime }$ բազմության յուրաքանչյուր $y$ տարրին համապատասխանեցնելով նրա միակ $x$ նախապատկերը, կստանանք $f^{-1}:Y^{\prime }\to X$ արտապատկերում, որն անվանվում է $f$-ի հակադարձ արտապատկերում։

Եթե $f:X\to Y$ և $g:Y\to Z$-ն կամայական արտապատկերումներ են, ապա $h:X\to Z$ արտապատկերում, որը $X$-ի յուրաքանչյուր $x$ տարրի համապատասխանեցնում է $g(y)=EZ$-ն որտեղ $y=f(x)$, կոչվում է $f$ և $g$ արտապատկերումների կոմպոզիցիա և նշանակվում $g_{o}f$։