Գծային հավասարումների համակարգ

Երեք անհայտով գծային հավասարումների համակարգը որոշում է երեք հարթությունների միացությունը։Նրանց հատման կետը համակարգի լուծումն է հանդիսանում։

Գծային հավասարումների համակարգ, հավասարումների համակարգ է, որոնցից յուրաքանչյուրը իրենից ներկայացնում է առաջին աստիճանի գծային հանրահաշվական հավասարում։

Դասական տարբերակում բոլոր գործակիցները, ազատ անդամները և անհայտները համարվում են բնական թվեր, բայց բոլոր ձևերն ու արդյունքները պահպանվում են ցանկացած դաշտերի համար օրինակ (կոմպլեքս թվերի)։

Գծային համակարգերի լուծումը գծային հանրահաշվի դասական խնդիրներից մեկն է, որը հիմնականում որոշում է նրա օբյեկտներն ու մեթոդները։ Գծային համակարգերի լուծումը կարևոր դեր է խաղում շատ թեքումային ուղղություններում, այդ թվում գծային ծրագրավորման մեջ։

Սահմանումներ

Գծային հավասարումների համակարգի ընդհանուր տեսքը․

$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \dots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\dots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$

Որտեղ՝ $m$ — հավասարումների քանակն է, $n$ —փոփոխականների քանակը, $x_1,x_2,\dots ,x_n$ — անհայտներն են, որ պիտի որոշել, $a_{11},a_{12},\dots ,a_{mn}$ գործակիցներն են, $b_1,b_2,\dots ,b_m$ազատ անդամները։ Գծային հավասարումների համակարգի գործակիցների ($a_{ij}$) ինդեկսները կազմվում են հետևյալ պայմանով՝ առաջինը ($i$) հավասարման համարն է, երկրորդը ($j$) — փոփոխականի համարն է, որից առաջ այն գտնվում է.

Համակարգը կոչվում են համասեռ, եթե նրա ազատ անդամները հավասար են զրոյի ($b_1=b_2=\dots b_m=0$), այլապես — ոչ համասեռ։

Գծային հավասարումների համակարգը կոչվում է քառակուսային , եթե հավասարումների քանակը հավասար է անհայտների քանակին ($m=n$). Համակարգը, որի անհայտների թիվը ավելին է քան հավասարումներինը, կոչվում է ուղղանկյուն համակարգ։

Համակարգի լուծումների $c_1,c_2,\dots ,c_n$թվերի $n$ բազմությունը, որը հանդիսանում է համակարգի լուծում,$x_1,x_2,\dots ,x_n$փոփոխականներում տեղադրելու դեպքում հավասարումը վերածում է նույնության։

Համակարգը կոչվում է միասնական, եթե նա ունի գոնե մեկ լուծում, և ոչ միասնական, եթե նա չունի ոչ մի լուծում։

Մատրիցային ձև

Համակարգը կարելի է ներկայացնել մատրիցի տեսքով․

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$

կամ

$Ax=b$.

Այստեղ $A$ -ն համակարգի մատրիցն է, $x$ -ը անհայտների սյունակը, իսկ $b$-ն ազատ անդամների սյունակն է։ Եթե $A$ մատրիցին աջից ավելացնել ազատ անդամների սյունակը, ապա ստացված մատրիցը կոչվում է ընդլայնված։

Գծային հավասարումների համարժեք համակարգեր

հավասարումների համակարգերը կոչվում են համարժեք, եթե նրանց լուծումները համընկնում են։ Լուծում չունեցող համակարգերը նույնպես համարժեք են։

Համակարգին համարժեք համակարգ կարելի է ստանալ, տրված համակարգի հավասարումներից մեկը բազմապատկենք կամ բաժանենք նույն թվի վրա։

$A𝐱=𝐛$ տեսքի հավասարումների համակարգը համարժեք է $CA𝐱=C𝐛$։

Կաղապար:Nowrap, Կաղապար:Nowrap, և Կաղապար:Nowrap գծային հացասարումներ են, իսկ (1,1) կետը նրանց լուծումն է։

Լուծման ձևերը

Ուղղակի մեթոդները տալիս են այնպիսի ալգորիթմ, որի օգնությամբ կարելի է գտնել համակարգերի ճշգրիտ լուծումները։

Որոշ ուղղակի մեթոդներ․

• Գաուսի մեթոդը
• Գաուս-Ջորդանի մեթոդներ
• Կրամերի մեթոդը
• Պտտման մեթոդ

Կախված մոտեցումներից, մեթոդները բաժանվում են մի քանի տեսակի․

• Մասնատման ձևով։ $(M-N)𝐱=𝐛\iff M𝐱=N𝐱+𝐛\Rightarrow M{𝐱}^{n+1}=N{𝐱}^n+𝐛$
• Զանազանման ձևով։ $A𝐱=𝐛\Rightarrow \Vert A𝐱-𝐛\Vert \to \min$
• Պրոյեկցիոն ձևով ։ $A𝐱=𝐛\Rightarrow (A𝐱,𝐦)=(𝐛,𝐦)\mathrm{\forall }𝐦$

Արտաքին հղումներ

• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք