Դ'Ալամբերի հայտանիշ

Ժան Լը Ռոն Դ՛Ալամբերը (ֆր.՝ Jean Le Rond D'Alembert)

Մաթեմատիկական հայտանիշ, որն առաջարկել է Դ՛Ալամբերը (ֆր.՝ Jean Le Rond D'Alembert):

Այն վերաբերում է ոչ բացասական անդամներով թվային շարքերին։

Հայտանիշ

Դիցուք տրված է դրական անդամներով

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ $(a_n>0)$ (3) շարքը և՝ $\mathrm{\exists }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=K$:

Այդ դեպքում, եթե՝

1. $K$<1, ապա (3) շարքը զուգամետ է։

2. $K$>1 ($D$-ն կարող է լինել +$\mathrm{\infty }$), ապա (3)-ը տարամետ է։

3. $K$=1, ապա ոչինչ պնդել հնարավոր չէ (կան և զուգամետ և տարամետ շարքերի օրինակներ)։

Ապացույց

Առաջին կետի ապացույց

Եթե $K$<1, ապա որևէ $q\in (D;1)$ թվի համար կունենանք՝ $\mathrm{\exists }N,\mathrm{\forall }n⩾N:0<\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)<q<1:$

Այստեղից՝ $\left(\frac{a_{N+1}}{a_N}\right)<q,\left(\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\right)<q,...,\left(\frac{a_n}{a_{n-1}}\right)<q$ $(n>N)$:

Բազմապատկելով այս $n-N$ թվով անհավասարությունները, կստանանք՝

$\left(\frac{a_n}{a_N}\right)<q^n-N:$

Ուրեմն՝

$a_n<\frac{a_N}{q^N}\cdot q^n$ շարքաը զուգամետ է (0<$q$<1), ապա զուգամետ է նաև շարք (3)-ը (տես. 1, դիտ. 2):

Երկրորդ կետի ապացույց

Եթե $K$>1, ապա $\mathrm{\exists }N,\mathrm{\forall }n⩾N:\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)>1,$ ուրեմն $a_{n+1}>a_n>0$ $(n\ge N)$: Այստեղից հետևում է, որ $a_n$ հաջորդականությունը մոնոտոն աճող է, և, ուրեմն՝ $a_n\nrightarrow 0$: Որտեղից հետևում է (3) շարքի տարամիտությունը։

Երրորդ կետի ապացույց

Ցույց տալու համար, որ $K$=1 դեպքում ոչինչ պնդել հնարավոր չէ, կարելի է բերել հետևյալ օրինակները։

Օրինակ 1`

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,$ $a_n=\frac{1}{n_2}$:

Այս շարքը զուգամետ է, և պարզ է, որ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=1$:

Օրինակ 2`

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,$ $a_n=\frac{1}{n}$:

Այս շարքը տարամետ է, բայց էլի՝ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=1$:

Գրականություն

• Ա.Գ. Ղալումյան, Ա.Ս. Սարգսյան, «Մաթեմատիկական անալիզ», ԵՊՀ Հրատարակչություն, Երևան 2009։