Դիսպերսիայի օրենք

Լույսի փնջի տարալուծումը սպեկտրում՝ ապակե պրիզմայի միջով անցման ժամանակ (Դիսպերսիայի «հայտնվելը»՝ ապակու մեջտեղում):

Դիսպերսիայի օրենք կամ դիսպերսիոն համապատասխանություն ալիքների տեսության մեջ, կապ ալիքային վեկտորի և հաճախության մեջ

$\omega =\omega (𝐤)$

Այս օրենքը արտահայտում է ալիքի ժամանակային և տարածական պարաբերությունների կապը։ Դիսպերսիայի օրենքից կարելի է ստանալ ալիքի փուլային և խմբային արագությունները՝

${𝐯}_{ph}=\frac{\omega }{k}\cdot \frac{𝐤}{k};{𝐯}_{gr}=\frac{d\omega }{d𝐤}$

Դիսպերսիա հասկացությունը առաջին անգամ օպտիկայում հայտնվել է հատվածակողմով սպիտակ լույսի տարալուծմից հետո։ Դիսպերսիա անվանում են ալիքի փուլային արագության կախումը լուսային ալիքի հաճախությունից կամ երկարությունից,կամ օպտիկայում բեկման ցուցչի կախումը ալիքի հաճախությունից և երկարությունից տվյալ միջավայրում, եթե արագությունը կախված չէ ալիքի հաճախությունից կամ երկարությունից,ապա խոսքը դիսպերսիայի բացակայության մասին է։

Այսինքն,եթե գծայինԿաղապար:Ն։ լույսի համար դիսպերսիայի օրենքը ապակու մեջ բերում է դիսպերսիայի դասական օրենքին։ Հիմնվելով քվանտային պատկերացումների վրա, որ ամեն մի ալիքի համապատասխանում է որոշակի մասնիկ կամ քվազիմասնիկ և հակառակը, դիսպերսիայի օրենքը կարելի է տարածել նաև մասնիկների համար։ Մասնավորապես,պինդ մարմնի ֆիզիկայում այս օրենքը կապ է հաստատում մասնիկի (օրինակ՝ էլեկտրոն, ֆոտոն) էներգիայի ևնրա ալիքային վեկտորի միջև։

Շղթայի համար դուրսբերում

Ենթադրենք տրված է ատոմների միաչափ գծային շղթա $m$ զանգվածով, որոնց միջև հեռավորությունը $u_n$ է։ Տեղադրենք $n$ կարճ հեռավորության վրա $u_n$։ Այդ դեպքում շեղման փոքրության պատճառով ատոմների փողազդեցության ուժը կարելի է համարել քվազիառաձգական։ Նշանակումները՝

$k$՝ ալիքային թիվ,

$\omega$՝ հաճախություն։

Հաշվի առնելով հարևան անդամները՝

$F_n=-\beta (u_n-u_{n+1})-\beta (u_n-u_{n-1})=\beta (u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}),$

որտեղ՝

$\beta$՝ քվազիառաձգականության գործակիցն է։ Գրենք շարժման հավասարումը $n$-րդ ատոմի համար՝ $ma=F⟺m\frac{d^2{u}_n}{d{t}^2}=\beta (u_{n+1}-2u_n+u_{n-1})$ Թող հավասարումը ունենա հետևյալ տեսքը՝ $A{e}^{i(kd-\omega t)}.$։ Այդ դեպքում՝ $-m{\omega }^2=\beta (e^{ikd}+e^{-ikd}-2)=-2\beta (1-\cos kd)=-4\beta {\sin }^2(kd/2)\Rightarrow \omega =\pm {\omega }_m\sin kd/2,$ որտեղ

${\omega }_m=2\sqrt{\frac{\beta }{m}}$։

Սա էլ հենց արտահայտում է հաճախության կապը ալիքային թվի հետ, այսինքն միատոմ շղթայի դիսպերսիայի օրենքը։

Տես նաև

• Ալիքների դիսպերսիա

Գրականություն

• Ֆեյնմանի դասախոսությունը դիսպերսիայի մասին