Ենսենի անհավասարություն

Ենսենի անհավասարությունը պնդում է այն գաղափարը, որ ուռուցիկ ֆունկցիայի գրաֆիկը ցածր է ֆունկցիայի հատող հատվածից ։

Մաթեմատիկայում Ենսենի անհավասարությունը կոչվել է ի պատիվ դանիացի մաթեմատիկոս Յոհան Ենսենի, այն ներկայացնում է ֆունկցիայի միջինի և միջին արժեքի ֆունկցիայի միջև անհավարությունըը ։ Այն ապացուցվել է Ենսենի կողմից 1906 թվականին։ Ընդհանրապես անհավասարումը ներկայացվում է տարբեր տեսքերով, կախված թե ինչ բնագավառում է այն օգտագործվում, որոնցից մի քանիսը ներկայացված է ստորև։ Իր պարզագույն տեսքով անհավասարումն ասում է, որ միջին արժեքի ուռուցիկ վերափոխումը փոքր է կամ հավասար ուռուցիկ վերափոխման միջին արժեքի, շատ պարզ է հետևանք է այն, որ գոգավոր ֆունկցիաների համար ճիշտ է հակառակը։

Ենսենի անհավասարումը ապացում է այն փաստը, որ ուռուցիկ ֆունկցիայի երկու կետերը միացնող գծի գրաֆիկը ավելի բարձր է ընկած, քան ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը Ենսենի անհավարումն է 2 կետերի համար․ հատողը ուռուցիկ ֆունկցիայի կշռված միջինն է (t ∈ [0,1]-ի համար),

$tf(x_1)+(1-t)f(x_2),$

մինչդեռ ֆունկցիայի գրաֆիկը կշռված միջին արժեքների ֆունկցիան է,

$f(t{x}_1+(1-t)x_2).$

Ենսենի անհավասարությունը հետևյալն է

$f(t{x}_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2).$

Հավանականությունների տեսության մեջ այն հիմնականում ներկայացվում է հետևյալ կերպ․ Եթե X-ը Պատահական մեծություն է և Կաղապար:Mvar-ն ուռուցիկ ֆունկցիա է, ապա

$\phi (\mathrm{E}[X])\le \mathrm{E}[\phi (X)].$

Պնդումներ

Ենսենի անհավասարության դասական տեսքը ներառում է մի քանի թվեր և կշիռներ։ Անհավասարությունը կարող է սահմանվել շատ ընդհանրական և չափի տեսության և հավանականությունների տեսության լեզուներով։ Հավանակնությունների տեսության մեջ այն կարող է ընդհանրացվել ամբողջ ուժով։

Վերջավոր տեսք

$\phi$իրական ուռուցիկ ֆունկցիայի համար, արժեքների տիրույթում գտնվող $x_1,x_2,\dots ,x_n$ թվերով, և $a_i$ կշիռներով, Ենսենի անհավասարումը կարող է սահմանվել որպես․

$\phi \left(\frac{\sum a_i{x}_i}{\sum a_i}\right)\le \frac{\sum a_i\phi (x_i)}{\sum a_i}(1)$

Եվ հակառակ անհավասարությունը, եթե $\phi$-ն գոգավոր է, որը ներկայացվում է հետևյալ տեսքով․

$\phi \left(\frac{\sum a_i{x}_i}{\sum a_i}\right)\ge \frac{\sum a_i\phi (x_i)}{\sum a_i}.(2)$

Հավասարությունը գործում է միայն այն դեպքում, երբ $x_1=x_2=\cdots =x_n$ կամ երբ $\phi$-ն գծային ֆունկցիա է, այսինք այն և ուռուցիկ է և գոգավոր։

Որպես մասսնավոր դեպք, եթե $a_i$ կշիռները բոլորը հավասար են, ապա (1) և (2) անհավասարությունները դառնում են

$\phi \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)\le \frac{\sum \phi (x_i)}{n}(3)$

$\phi \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)\ge \frac{\sum \phi (x_i)}{n}(4)$

Օրինակ [[Logarithm|Կաղապար:Math]] ֆունկցիան գոգավոր է, այսպիսով տեղադրելով $\phi (x)=\log (x)$ նախորդ անհավասարության մեջ՝ ստացվում է թվաբանական միջին- երկրաչափական միջին անհավասարությունը։

$\log \left(\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}\right)\ge \frac{\sum _{i=1}^n\log \left(x_i\right)}{n}\text{կամ}\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}$

Հղումներ

• Կաղապար:Cite book
• Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71.
• Կաղապար:Cite book
• Կաղապար:Cite book

Արտաքին հղումներ

• Jensen's Operator Inequality of Hansen and Pedersen.
• Կաղապար:MathWorld
• Կաղապար:Cite web