Եռանկյան անհավասարություն

Կաղապար:Math, Կաղապար:Math, Կաղապար:Math կողմերով եռանկյան մեջ (Կաղապար:Math)-ը միշտ մեծ է Կաղապար:Math -ից

Եռանկյան անհավասարություն, երկրաչափության , ֆունկցիոնալ վերլուծության և դրանց առնչվող առարկաներում հեռավորության ինտուիտիվ հատկություններից մեկը։ Այն պնդում է, որ եռանկյան ցանկացած կողմի երկարությունը միշտ փոքր է, քան մյուս 2 կողմերի երկարությունների գումարը։ Եռանկյան անհավասարությունը չափային տարածության, նորմայի և այլնի սահմանման մեջ, ներառված է որպես աքսիոմ։ Դա հաճախ նաև թեորեմ է հանդիսանում տարբեր տեսություններում։

Էվկլիդեսյան երկրաչափություն

Դիցուք՝ տրված է $Δ A B C .$ և $| A C | ⩽ | A B | + | B C |,$ ընդորում $| A C | = | A B | + | B C |$ ստացվում է միայն այն դեպքում, երբ եռանկյան մեջ $B$ գտնվում է $A$ և $C$ կետերի միջև, մի ուղղի վրա։

BD- ն՝ AB- ի շարունակությունն է (ըստ կառուցման):Ընդորում, β> α և AD> AC: Սակայն AD = AB + BD = AB + BC, այնպես, որ AB + BC> AC: Այս ապացույցը բերվում է Էվկլիդեսի տեսությունում( Գիրք 1)^[1]։

Ապացուցում է եռանկյան անհավասարությունը հետևյալ կերպ։ Նախ՝ ապացուցվում է թեորեմ այն մասին, որ եռանկյան արտաքին անկյունը մեծ է ներքին անկյունից, որը նրան կից չէ։ Դրանից բխում է թեորեմ,որ եռանկյունու մեծ կողմի հանդիպակած անկյունը մեծ է։ Հետագայում, օգտագործելով հակառակ եղանակը, մենք ապացուցում ենք այն թեորեմը, որ եռանկյան ավելի մեծ ներքին անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմը, և այս թեորեմից դուրս է բերում եռանկյան անհավասարությունը։

Նորմավորված տարածություն

Դիցուք՝ $(X, ‖ \cdot ‖)$ ֊ն նորմավորված վեկտորական տարածությունն է, որտեղ $X$ ֊ը կամայական բազմություն է իսկ $‖ \cdot ‖$ ֊ը $X$ ֊ի վրա որոշված նորմ։ Այդ դեպքում ըստ վերջինիս սահմանման ճիշտ է հետևյալ անհավասարությունը․

‖ x + y ‖ ⩽ ‖ x ‖ + ‖ y ‖, \forall x, y \in X .

Մետրիկական տարածություն

Դիցուք՝ $(X, ρ)$ ֊ն մետրիկական տարածություն է, որտեղ $X$ -ը կամայական բազմություն է, իսկ $ρ$ -ն $X$ -ի վրա որոշված մետրիկա։ Ըստ վերջինիս սահմանման

$ρ (x, y) ⩽ ρ (x, z) + ρ (z, y), x, y, z \in X .$

Տարբերակում և ընդհանրացում

$d (x, z) ⩽ \max (d (x, y), d (y, z))$ Եռանկյան մեծ անհավասարություն

Եռանկյան հակառակ անհավասարություն

Մետրական և նորմավորված տարածությունում եռանկյան անհավասարության հետևանքն է հանդիսանում հետևյալ անհավասարությունը․

$| ρ (x, y) - ρ (x, z) | ⩽ ρ (y, z), x, y, z \in X .$