Եռանկյան բարձրություն

Բարձրություններ տարբեր տեսակի եռանկյուններում

Եռանկյան բարձրություն, եռանկյան գագաթից հանդիպակաց կողմին կամ այն պարունակող ուղղին տարված ուղղահայաց։ Եռանկյան տեսակից կախված, բարձրությունը կարող է գտնվել եռանկյան ներսում(սուրանկյուն եռանկյան համար), համընկնել նրա կողմի հետ(ուղղանկյուն եռանկյան համար հանդիսանում է էջ), կամ անցնել եռանկյան արտաքին տիրույթով(բութանկյուն եռանկյան համար)։

Եռանկյան երեք բարձրությունների հատման կետի (օրթոկենտրոնի) հատկությունները

Եռանկյան բարձրություններ

Եռանկյան բարձրությունները հատվում են մեկ կետում, որը կոչվում է օրթոկենտրոն։ Այս պնդումը հեշտ է ապացուցել, կիրառելով ցանկացած $A,B,C,E$ կետերի (որոնց պատկանելիությունը միևնույն հարթությանը պարտադիր չէ) համար վեկտորական նույնությունը.

$\overrightarrow{EA}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{EB}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{EC}\cdot \overrightarrow{AB}=0$

(Նույնության ապացուցման համար պետք է օգտվել

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EB}-\overrightarrow{EA},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{EB},\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EC}$

բանաձևերից։ Որպես E կետ պետք է վերցնել եռանկյան երկու բարձրությունների հատման կետը։)

Հավասարասրուն եռանկյան բարձրությունների հատկությունները

• Եթե եռանկյան երկու բարձրությունները հավասար են, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է (Շտեյներ-Լեմուսի թեորեմ), իսկ երրորդ բարձրությունը միաժամանակ հանդիսանում է այն անկյան կիսորդն ու միջնագիծը, որից այն դուրս է գալիս։
• Ճշմարիտ է և հակադարձը. հավասարասրուն եռանկյան երկու բարձրությունները հավասար են, իսկ երրորդ բարձրությունը միաժամանակ հանդիսանում է միջնագիծ և կիսորդ։
• Հավասարակողմ եռանկյան բոլոր երեք բարձրությունները հավասար են։
• Հավասարասրուն եռանկյան՝ հիմքին հանդիպակաց անկյան գագաթից դուրս եկող բարձրությունը միջնագիծ է և կիսորդ։

Եռանկյան բարձրությունների հիմքերի հատկությունները

• Եռանկյան բարձրությունների հիմքերը կազմում են, այսպես կոչված, օրթոեռանկյուն, որն օժտված է սեփական հատկություններով։
• Օրթոեռանկյանն արտագծված շրջանագիծը Էյլերի շրջանագիծն է։ Այդ շրջանագծի վրա գտնվում են եռանկյան երեք կողմերի միջնակետերը և օրթոկենտրոնը եռանկյան գագաթներին միացնող երեք հատվածների միջնակետերը։
• Վերջին հատկության այլ ձևակերպում.
  • Էյլերի թեորեմը ինը կետերի շրջանագծի համար.

Ցանկացած եռանկյան երեք բարձրությունների հիմքերը, նրա երեք կողմերի միջնակետերը (միջնագծերիհիմքերը ) և օրթոկենտրոնը եռանկյան գագաթներին միացնող երեք հատվածների միջնակետերը գտնվում են միևնույն շրջանագծի վրա (ինը կետերի շրջանագծի վրա)։

• Թեորեմ։ Ցանկացած եռանկյան մեջ երկու բարձրությունների հիմքերը միացնող հատվածը առանձնացնում է տրվածին նման եռանկյուն

Եռանկյան բարձրությունների այլ հատկություններ

• Ոչ հավասարասրուն եռանկյան ներքին կիսորդը գտնվում է այն միջնագծի և բարձրության միջև, որոնք տարված են նույն գագաթից, ինչ այդ կիսորդը։
• Սուրանկյուն եռանկյան մեջ երկու բարձրություները նրանից առանձնացնում են նման եռանկյուններ։
• Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ուղիղ անկյան գագաթից տարված բարձրությունն այդ եռանկյունը տրոհում են տրվածին նման երկու եռանկյունների։

Եռանկյան բարձրություններից փոքրագույնի հատկությունները

Եռանկյան բարձրություններից փոքրագույնն օժտված է մի շարք էքստրեմալ հատկություններով։Օրինակ.

• Եռանկյան հարթությանը պատկանող ուղիղների վրա եռանկյան օրթոգոնալ պրոյեկցիաներից փոքրագույնի երկարությունը հավասար է եռանկյան փոքրագույն բարձրությանը։
• Եռանկյան պարագծով երկու կետերի՝ միմյանց ընդառաջ անընդհատ շարժվելիս, նրանց մեծագույն հեռավորությունը առաջին հանդիպումից մինչև երկրորդը, չի կարող փոքր լինել եռանկյան փոքրագույն բարձրության երկարությունից։
• Եռանկյան փոքրագույն բարձրությունը միշտ անցնում է եռանկյան ներքին տիրույթով։

Հիմնական հարաբերակցություններ

• $h_a=b\cdot \sin \gamma =c\cdot \sin \beta ,$։
• $h_a=\frac{2\cdot S}{a},$ որտեղ $S$ — եռանկյան մակերեսն է, $a$ — եռանկյան այն կողմի երկարությունն է, որին տարված է բարձրությունը։
• $h_a=\frac{b\cdot c}{2\cdot R},$ որտեղ $b\cdot c$ - կողմնային կողերի արտադրյալն է, $R-$-ը՝ արտագծված շրջանագծի շառավիղը։
• $h_a:h_b:h_c=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}=(b\cdot c):(a\cdot c):(a\cdot b).$
• $\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{1}{r}$, որտեղ $r$ — ներգծյալ շրջանագծի շառավիղն է։
• $S=\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})\cdot (\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}-\frac{1}{h_c})\cdot (\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_c}-\frac{1}{h_b})\cdot (\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}-\frac{1}{h_a})}}$, որտեղ $S$ - ը եռանկյան մակերեսն է։
• $a=\frac{2}{h_a\cdot \sqrt{(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c})\cdot (\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}-\frac{1}{h_c})\cdot (\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_c}-\frac{1}{h_b})\cdot (\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}-\frac{1}{h_a})}}$, $a$ - եռանկյան կողմը, որին տարված է $h_a$ բարձրությունը։
• Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը.

$h_c=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{4a^2-c^2},$

որտեղ $c$ — ն հիմքն է։

• $h=a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ — հավասարակողմ եռանկյան բարձրություն։

Թեորեմ ուղղանկյուն եռանկյան բարձրության մասին

Եթե ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ուղիղ անկյան գագաթից տարված $h$ բարձրությունը $c$ ներքնաձիգը տրոհում է $b$ և $a$ էջերին համապատասխան $m$ և $n$ հատվածների, ապա ճշմարիտ են հետևյալ հավասարությունները.

• $h^2=n\cdot m$
• $a^2=c\cdot n$; $b^2=c\cdot m$
• $h\cdot c=a\cdot b$

Թեորեմ պրոյեկցիաների մասին

Թեորեմ պրոյեկցիաների մասին։ $c=a\cos \beta +b\cos \alpha ;a=b\cos \gamma +c\cos \beta ;b=c\cos \alpha +a\cos \gamma$. Պրոյեկցիաների մասին թեորեմից հետևում է, որ, օրինակ, $C$ գագաթից տարված բարձրությունը հանդիպակաց $c$ կողմը տրոհում է երկու մասի՝ $a\cos \beta$ և $b\cos \alpha$, հաշված $A$ գագաթից դեպի $B$-ն։

Տես նաև

• Եռանկյուն
• Ուղղանկյուն եռանկյուն
• Հավասարասրուն եռանկյուն
• Եռանկյան միջնագիծ
• Օրթոկենտրոն
• Կիսորդ