Երկգծային ձև

Ենթադրենք $L$ -ը վեկտորական հարթություն է $K$ հարթության մեջ (ավելի հաճախ դիտարկվում են $K = ℝ$ և $K = ℂ$ հարթությունները)։

Երկգծային ձև կոչվում է $F : L \times L \to K$ ֆունկցիան, որը գծային է յուրաքանչյուր արգումենտի համար։

F (x + z, y) = F (x, y) + F (z, y)

,

F (x, y + z) = F (x, y) + F (x, z)

,

F (λ x, y) = λ F (x, y)

,

F (x, λ y) = λ F (x, y)

,

Այստեղ $x, y, z \in L$ և $λ \in K$

Երկգծային ձևը տենզորի (տենզորի կարգ (0,2)) հասկացության մասնավոր դեպքն է։

Այլընտրանքային սահմանում

Վերջավոր հարթությունների դեպքում (օրինակ՝ $ℝ^{n}$ ) հիմնականում օգտագործվում է այլ սահմանում։

Ենթադրենք $L$ -ը վեկտորների բազմություն է $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ տեսակի, որտեղ $x_{i} \in K, i = \overline{1, n}$ ։

Երկգծային ձևեր են կոչվում $F : L \times L \to K$ ֆունկցիաները $F (x, y) = \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} y_{j}$ տեսակի

որտեղ $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}),$ $y = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}),$ իսկ $a_{i j}$ ՝ $K .$ հարթությունից որոշ կոնստանտներ։

Այլ խոսքերով ասած, երկգծային ձևը ֆունկցիա է երկու խմբից $n$ փոփոխականներով, որոնք համարվում են յուրաքանչյուր խմբի փոփոխականների նկատմամբ առաջին աստիճանի համասեռ բազմանդամներ։

Կապակցված սահմանումներ

$F$ երկգծային ձևը կոչվում է սիմետրիկ, եթե $F (x, y) = F (y, x)$ $x, y \in L$ ցանկացած վեկտորների համար։
$F$ երկգծային ձևը կոչվում է կոսոսիմետրիկ (հակասիմետրիկ), եթե $F (x, y) = - F (y, x)$ $x, y \in L$ ցանկացած վեկտորների համար։
$x \in L$ վեկտորը կոչվում է օրթոգոնալ (ավելի ճիշտ, աջից օրթոգոնալ) $M \subset L$ ենթահարթության մեջ $F$ -ի նկատմամբ, եթե $F (x, y) = 0$ բոլոր $y \in M$ համար։ $x \in L$ վեկտորների ամբողջությունը, օրթոգոնալ $M \subset L$ ենթահարթության մեջ տրված $F$ երկգծային ձևի նկատմամբ, կոչվում է օրթոգոնալ լրացում $F$ -ի նկատմամբ $M \subset L$ ենթահարթության համար և նշանակվում է $M^{⊥}$ ։
$F$ երկգծային ձևի արմատ կոչվում է $F$ -ի նկատմամբ $L$ հարթության օրթոգոնալ լրացում, այսինքն՝ $x \in L$ վեկտորների $L^{⊥}$ ամբողջություն, որոնց համար $F (x, y) = 0$ բոլոր $y \in L$ դեպքում։

Հատկություններ

$W (L, L)$ երկգծային բոլոր ձևերի բազմությունները, որոնք տրված են ֆիքսված ազատ հարթության վրա, համարվում են գծային հարթություն։
Ցանկացած երկգծային ձև կարելի է պատկերացնել սիմետրիկ և հակասիմետրիկ ձևերի գումարի տեսքով։
Ընտրված $e_{1}, \dots, e_{n}$ $L$ -ում բազիսում ցանկացած $F$ երկգծային ձև միանշանակ սահմանվում է մատրիցով

(\begin{matrix} F (e_{1}, e_{1}) & F (e_{1}, e_{2}) & \dots & F (e_{1}, e_{n}) \\ F (e_{2}, e_{1}) & F (e_{2}, e_{2}) & \dots & F (e_{2}, e_{n}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ F (e_{n}, e_{1}) & F (e_{n}, e_{2}) & \dots & F (e_{n}, e_{n}) \end{matrix}),

այնպես, որ ցանկացած $x = x^{1} e_{1} + x^{2} e_{2} + \dots + x^{n} e_{n}$ և $y = y^{1} e_{1} + y^{2} e_{2} + \dots + y^{n} e_{n}$ վեկտորների համար

F (x, y) = (\begin{matrix} x^{1} & x^{2} & \dots & x^{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} F (e_{1}, e_{1}) & F (e_{1}, e_{2}) & \dots & F (e_{1}, e_{n}) \\ F (e_{2}, e_{1}) & F (e_{2}, e_{2}) & \dots & F (e_{2}, e_{n}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ F (e_{n}, e_{1}) & F (e_{n}, e_{2}) & \dots & F (e_{n}, e_{n}) \end{matrix}) (\begin{matrix} y^{1} \\ y^{2} \\ ⋮ \\ y^{n} \end{matrix}),

այսինքն՝

F (x, y) = \sum_{i, j = 1}^{n} f_{i j} x^{i} y^{j}, f_{i j} = F (e_{i}, e_{j}) .

Դա նաև նշանակում է, որ երկգծային ձևը լիովին որոշվում է իր նշանակություններով բազիսի վեկտորների վրա։
$W (L, L)$ հարթության չափականությունը $\dim W (L, L) = (\dim L)^{2}$ ։
Չնայած նրան, որ $F$ երկգծային ձևի մատրիցը կախված է բազիսի ընտրությունից, երկգծային ձևի մատրիցի ռանգը ցանկացած բազիսում նույնն է, այն կոչվում է $F$ երկգծային ձևի ռանգ։ Երկգծային ձևը կոչվում է ոչ այլասերված, եթե դրա կարգը հավասար է $\dim L$ :
Ցանկացած $M \subset L$ ենթահարթության համար $M^{⊥}$ օրթոգոնալ լրացումը համարվում է $M^{⊥} \subset L$ ենթահարթություն։
$\dim L^{⊥} = \dim L - r$ , որտեղ $r$ -ը $F$ երկգծային ձևի ռանգ է։