Երկվորյակներ (մաթեմատիկա)

Կաղապար:Այլ կիրառումներ Երկվորյակներ, երկու պարզ թվեր, որոնց տարբերությունը հավասար է 2-ի (օրինակ, 3 և 5, 5 և 7, 41 և 43)։ Երկվորյակների բազմությաև վերջավոր կամ անվերջ լինելու հարցը թվերի տեսության նշանավոր և բարդ չլուծված խնդիրներից է։

Երկվորյակ պարզ թվերի բոլոր զույգերը, բացառությամբ (3, 5) թվերի, ունեն $6n\pm 1$ տեսքը։

Առաջին երկվորյակ պարզ թվերն են`

(3, 5)	(5, 7)	(11, 13)	(17, 19)	(29, 31)	(41, 43)	(59, 61)
(71, 73)	(101, 103)	(107, 109)	(137, 139)	(149, 151)	(179, 181)	(191, 193)
(197, 199)	(227, 229)	(239, 241)	(269, 271)	(281, 283)	(311, 313)	(347, 349)
(419, 421)	(431, 433)	(461, 463)	(521, 523)	(569, 571)	(599, 601)	(617, 619),
(641, 643)	(659, 661)	(809, 811)	(821, 823)	(827, 829)	(857, 859)	(881, 883)

Ցուցակներ

Ամենատարածված երկվորյակ պարզ թվերն են՝

• $3756801695685\cdot 2^{666669}\pm 1$. Они были найдены 24 декабря 2011 года в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid.(200700 թվանշան)
• $52464467530725\cdot 2^{555500}\pm 1$
• $65516468355\cdot 2^{333333}\pm 1$ (100355 թվանշան)
• $2003663613\cdot 2^{195000}\pm 1$ (58711 թվանշան)
• $194772106074315\cdot 2^{171960}\pm 1$ (51780 թվանշան)
• $100314512544015\cdot 2^{171960}\pm 1$ (51780 թվանշան)
• $16869987339975\cdot 2^{171960}\pm 1$ (51779 թվանշան)

Բուրանի թեորեմ

Վիգգո Բուրանը 1919 թվականին ապացուցեց, որ ${\pi }_2(x)\ll \frac{x}{(\ln x{)}^2}$ և այս շարքը փոխդարձաբար համընկնում են՝

$B_2=(\frac{1}{3}+\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{7})+(\frac{1}{11}+\frac{1}{13})+(\frac{1}{17}+\frac{1}{19})+\dots$

Դա նշանակում է, որ եթե հասարակ երկվորյակները անսահմանափակ շատ են, ապա նրանք բոլորը գտնվում են բնական հաջորդականությամբ բավականին հազվադեպ։

Նշանակությունը $B_2\approx 1.902160583104$ անվանում են Բուրանի հաստատուն պարզ երկվորյակների դեպքում։

Հետագայում ապացուցվեց նույն շարքերի համընկնումները ընդհանրացված պարզ երկվորյակների համար։ Ենթադրվում է, որ այդպիսի շարքերը անսահման շատ են, բայց դեռ ապացուցված չեն։ Ըստ Հարդի Լիտտլվուդաի տեսության, մեծաքանակ ${\pi }_2(x)$ զույգ պարզ երկվորյակները չեն գերազանցում x-ը, դրանք ասիմետրիկորեն մոտենում են՝

${\pi }_2(x)\sim 2C_2\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{(\ln t{)}^2}$

որտեղ $C_2$ պարզ երկվորյակների հաստատունն է։

$C_2=\prod _{p\ge 3}(1-\frac{1}{(p-1{)}^2})\approx 0.66016118158468695739278121100145\dots$

Արտաքին հղումներ

• Top-20 Twin Primes at Chris Caldwell's Prime Pages.
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah։ Introduction to Twin Primes and Brun's Constant
• "Official press release" of 58711-digit twin prime record.
• The 20 000 first twin primes
• Polymath: Bounded gaps between primes
• Sudden Progress on Prime Number Problem Has Mathematicians Buzzing