Ընդհանրացված ֆունկցիա

Ընդհանրացված ֆունկցիա, ֆունկցիայի դասական գաղափարն ընդհանրացնող մաթեմատիկական հասկացություն, որի հիմքում ընկած է այն փաստը, որ ամեն մի $x\in R^n$ կետի շրջակայքում ըստ Լեբեգի ինտեգրելի $f(x)$ ֆունկցիան $(f\in L_1(loc))$ որոշվում է (համարյա ամենուրեք), եթե հայտնի են $\int \mathrm{\backslash limits}f\phi d_x$ ինտեգրալների արժեքները «փորձնական» $\phi$ ֆունկցիաների որոշակի $D=\phi$ բազմության վրա։ Ընդհանրացված ֆունկցիաների տեսությունն առավել բեղմնավոր է ստացվում, երբ $D$-ն այն անվերջ դիֆերենցելի ֆունկցիաների բազմությունն է, որոնցից յուրաքանչյուրը որոշակի $R_{\phi }$ շառավղով գնդից դուրս հավասար է զրոյի, իսկ

${\phi }_n\to \phi ({\phi }_n,\phi \in D)$

$n\to \mathrm{\infty }$

զուգամիտությունը նշանակում է, որ բոլոր ${\phi }_n$–երը հավասար են զրոյի միևնույն $R$ շառավղով գնդից դուրս և բոլոր $\frac{{\partial }^k{\phi }_n}{{\partial }^{{\alpha }_1....}{\partial }^{{\alpha }_n}}=D^{\alpha }{\partial }_n$ ածանցյալները հավասարաչափ զուգամիտում են։ Այդ դեպքում $D$-ն գծային տոպոլոգիական (հաշվելի–նորմավորված) տարածություն է և հետևաբար կարելի է դիտարկել նրա համալուծ տարածությունը, այսինքն՝ $f:D\to R$ գծային (անընդհատ) ֆունկցիոնալների տարածությունը։ Յուրաքանչյուր այդպիսի $f(\phi )$ ֆունկցիոնալ կոչվում է ընդհանրացված ֆունկցիա։ Ընդ որում $f(\phi )$ի փոխարեն ընդունված է գրել նաև $(f,\phi )$: Այսպիսով, ընդհանրացված ֆունկցիան որոշված է $D$ փորձնական ֆունկցիաների դասում և ընդունում է իրական արժեքներ, իսկ $(f\in L_1(loc))$ դասական ֆունկցիաները $D^{\prime }$–ի մեջ են ընդգրկվում այն իմաստով, որ համապատասխան $(f,\phi )$ ընդհանրացված ֆունկցիան կարելի է սահմանել $(f,\phi )=\int \mathrm{\backslash limits}f\phi d_x$ բանաձևով, քանի որ աջ մասը պատկանում է $D^{\prime }$–ին։$D^{\prime }$–ը շատ լայն դաս է։ Մասնավորապես այդ դասին է պատկանում ֆիզիկայում հայտնի $\delta (x-x_0)$ Դիրակի ֆունկցիան, այսինքն՝ $(\delta (x-x_0),\phi )=\phi (x_0)$ ֆունկցիոնալը։ $D^{\alpha }f,(f\in D^{\prime })$ սահմանվում է որպես $(D^{\alpha }f,\phi )=(f,(-1{)}^{|x|}{D}^{\alpha }\phi )$ ֆունկցիոնալ, ուստի ընդհանրացված ֆունկցիաներն ունեն բոլոր կարգի ածանցյալներ։ Ընդհանրացված ֆունկցիայի այս գաղավւարը մտցրել է Ս. Լ. Սոբոլևը, իսկ նրա հետագա զարգացումը և կիրառությունները կապված են առաջին հերթին Լ. Շվարցի անվան հետ։ Ընդհանրացված ֆունկցիայներն այժմ լայն կիրառություն են գտել մաթեմատիկայում և ֆիզիկայում՝ մասնավորապես քվանտային տեսության մեջ։