Թվային հաջորդականություն

Թվային հաջորդականություն

Թվային հաջորդականություն, թվային տարրերի հաջորդականություն, մաթեմատիկական անալիզի հիմնական դիտարկման առարկա։

Սահմանում

Օբյեկտների կարգավորված ցանցը կոչվում է հաջորդականություն։

Եղանակներ

Գոյություն ունի հաջորդականության տրման երեք առավել կարևոր եղանակ՝ անալիտիկ (բանաձևով), բառային նկարագրով և ռեկուրենտ։

Հաջորդականության տրման անալիտիկ եղանակ

Սահմանում 1.

Եթե թվային արժեքներ ընդունող $f$ ֆունկցիայի որոշման տիրույթ է հանդիսանում բնական թվերի բազմությունը՝ n∈N, ապա այդպիսի ֆունկցիային անվանում են անվերջ թվային հաջորդականություն, կամ պարզապես, հաջորդականություն, իսկ $x_n=f(n)$ թվերը կոչվում են հաջորդականության անդամներ։

Հաջորդականությունը նշանակում են $\{x_n\},\{x_n{\}}_1^{\mathrm{\infty }}$ կամ

$x_1,x_2,x_3,x_4,...,x_n,...$ (1)

$\frac{1}{2},\frac{1}{5},\frac{1}{8},...,\frac{1}{3n-1},...$ (2)

$\frac{3}{2},\frac{4}{9},\frac{5}{28},...,\frac{n+2}{n^3+1},...$ (3)

$-2,0,-2,...,-2,0,...$ (4)

$5,5,5,...,5,...$ (5)

(4) հաջորդականությունում $x_n=-1+(-1{)}^n$, իսկ (5), ում՝ $x_n=5$:

Դիցուք ունենք $\{x_n\}$-ը և $\{y_n\}$-ը թվային հաջորդականություններ են։ Նրանց գումար, տարբերություն, արտադրյալ և քանորդ են կոչվում համապատասխանաբար՝ $\{x_n+y_n\}$, $\{x_n-y_n\}$, $\{x_n\cdot y_n\}$, $\{\frac{x_n}{y_n}\}$, $(y_n\ne 0)$ հաջորդականությունները։

Սահմանում 2:

$\{x_n\}$ հաջորդականությունը կոչվում է վերևից (ներքևից) սահմանափակ, եթե գոյություն ունի այնպիսի M (m) թիվ, որ ցանկացած n բնական թվի համար տեղի ունի անհավասարությունը՝

$x_n⪕M$ $(x_n⩾m)$:

Սահմանում 3:

$\{x_n\}$

հաջորդականությունը կոչվում է սահմանափակ, եթե այն լինի և՛ վերևից, և՛ ներքևից սահմանափակ:

Սահմանում 4:

$\{x_n\}$

հաջորդականությունը կոչվում է անսահմանափակ, եթե ցանկացած $L>0$ թվի համար $x_k\in \{x_n\}$: $|x_k|>L:$

Օրինակներ

Օրինակ 1:

$-5,-10,-15,...,-5n,...$

հաջորդականությունը սահմանափակ է միայն վերևից, ներքևից սահմանափակ չէ։

Օրինակ 2:

$1,6,11,...,5n-4,...$

հաջորդականությունը սահմանափակ է միայն ներքևից, վերևից սահմանափակ չէ։

Օրինակ 3:

$3,\frac{3}{2},\frac{3}{2^2}...,\frac{3}{2^n-1},...$

հաջորդականությունը սահմանափակ է և՛ վերևից, և՛ ներքևից։

Օրինակ 4:

$-2,2^2,-3,3^2,...,-n,n^2,...$

հաջորդականությունը սահմանափակ չէ ո՛չ վերևից, ո՛չ էլ ներքևից։

Հաջորդականության բառային նկարագիր

Հաջորդականության բառային նկարագրում, այսինքն պարզ թվերի հաջորդականություն և տասնորդական կոտորակներ։

Օրինակներ

ա) Պարզ թվերի հաջորդականություն

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...

բ) Տասնորդական կոտորակներ, որոնց ամբողջ մասը 0-ն է, իսկ կոտորակային մասում 1-եր են, որոնց քանակը հավասար է անդամի համարին

0.1, 0.11, 0.111, 0.1111, 0.11111, ...

Հաջորդականության տրման ռեկուրենտ եղանակ

Հաջորդականության տրման ռեկուրենտ եղանակը դա այն է, երբ նշվում է օրենք, որի միջոցով գտնվում է հաջորդականության $n$-րդ անդամը, եթե հայտնի են բոլոր նախորդ անդամները:Այս դեպքում իմանալով հաջորդականության առաջին անդամը, կարողանում ենք գտնել երկրորդը, իմանալով երկրորդը՝ գտնում ենք երրորդը, և այդպես շարունակ կարողենք գտնել ինչքան որ հարկավոր է։

Հաջորդականության տրման այս եղանակը կոչվում է 'ռեկուրենտ' (լատիներեն recurrentis՝ անդրադարձ բառից)։

Օրինակ

Ունենք $x_1=4$, $x_n=x_{n-1}+5$, եթե $n=2,3,4,5,6,7,...$, հաշվենք $x_2,x_3,x_4,x_5,...$ հաջորդականությունը.

$x_1=4$

$x_2=x_{2-1}+5=x_1+5=4+5=9$

$x_3=x_{3-1}+5=x_2+5=9+5=14$

$x_4=x_{4-1}+5=x_3+5=14+5=19$

$x_5=x_{5-1}+5=x_4+5=19+5=24$

Այսպիսով ստացանք՝ 4, 9, 14, 19, 24, ... հաջորդականությունը։

Գրականություն

• Օհանյան Վ. Հ. «Մաթեմատիկական անալիզ», Երևան 2008, Գլուխ 3, էջ 34, 35։
• Ս. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով, Ն.Ն. Րեշետնիկով, Ա.Վ. Շևկին, Հանրահաշիվ, 9-րդ դասարան, Անտարես, 2013