Խառը վիճակ

Խառը վիճակ, քվանտային վիճակ, որը չի նկարագրվում վիճակի վեկտորով (ոչ էլ ալիքային ֆունկցիայով), այլ հանդիսանում է մաքուր քվանտային վիճակների խառնուրդ։ Դա նշանակում է, որ քվանտային համակարգը որոշակի ${\omega }_1,{\omega }_2...{\omega }_n$ հավանականություններ ունի գտնվելու $|{\psi }_1⟩,|{\psi }_2⟩...|{\psi }_n⟩$ վիճակի վեկտորներով նկարագրվող մաքուր վիճակներից յուրաքանչուրում։ Խառը վիճակի նկարագրման համար օգտագործվում է խտության մատրիցը։

Խտության մատրից

Խտության մատրիցը սահմանվում է հետևյալ արտահայտությամբ

$\hat{\rho }=\sum _i^n{\omega }_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$,

որտեղ $|{\psi }_i⟩$-ով նշանակված է մաքուր վիճակի վեկտորը, իսկ ${\omega }_i$-ով — այդ վեկտորով նկարագրվող վիճակում գտնվելու հավանականությունը։ Մաքուր վիճակը նկարագրելու համար նույնպես կարելի է օգտագործել խտության մատրիցը։ $|\psi ⟩$ մաքուր վիճակին համապատասխանում է ${\hat{\rho }}_{\text{մ}}=|\psi ⟩⟨\psi |$ խտության մատրիցը։

Հատկություններ

1. $\hat{\rho }$-ն հերմիտյան ոչ բացասական օպերատոր է, որը ունի միավոր հետք $\mathrm{T}\mathrm{r}(\hat{\rho })=\sum _{\alpha }⟨\alpha |\hat{\rho }|\alpha ⟩=1:$ Այստեղ $|\alpha ⟩$-ով նշանակված վեկտորները ներկայացնում են ցանկացած բազիս։
2. խտության մատրիցի քառակուսու հետքը մեկից ոչ ավել է $\mathrm{T}\mathrm{r}({\hat{\rho }}^2)\le 1$:
3. Որևէ ֆիզիկական մեծություն ներկայացնող $\hat{A}$ օպերատորի միջին մեծությունը տրվում է հետևյալ հետքով$⟨\hat{A}⟩=\sum _i{\omega }_i⟨{\psi }_i|\hat{A}|{\psi }_i⟩=\sum _i{\omega }_i⟨{\psi }_i|\hat{A}(\sum _{\alpha }|\alpha ⟩⟨\alpha |)|{\psi }_i⟩=\sum _{\alpha }⟨\alpha |(\sum _i{\omega }_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|\hat{A})|\alpha ⟩=\mathrm{T}\mathrm{r}(\hat{\rho }\hat{A})$:
4. խտության մատրիցի էվոլյուցիան տրվում է ֆոն Նեյմանի հավասարությամբ

$$\frac{\partial }{\partial t}\hat{\rho }=\frac{1}{i\hslash }[\hat{H},\hat{\rho }],$$ որտեղ $\hat{H}$-ը նկարագրվող համակարգի համիլտոնյանն է։

Մաքուր վիճակի խտության մատրիցը

Որպես մաքուր վիճակի չափանիշ, կարող է օգտագործվել հետևյալ պայմաններից մեկը.

1. ${\hat{\rho }}^2=\hat{\rho }$,
2. $\mathrm{T}\mathrm{r}({\hat{\rho }}^2)=1$,
3. ֆոն Նեյմանի Էնտրոպիայի զրոյական արժեքը $S=-Tr(\hat{\rho }\ln (\hat{\rho }))=0$։

Խառը վիճակի և քվանտային վերադրման տարբերությունը

Խառը վիճակը տարբերվում է քվանտային վերադրումից։ Օրինակ երկաստիճան համակարգի դեպքում $|\psi >=c_1|\downarrow >+c_2|\uparrow >$ վեկտորը և $\hat{\rho }=|c_1{|}^2|\downarrow ><\downarrow |+|c_2{|}^2|\uparrow ><\uparrow |$ խտության մատրիցը նկարագրում էն տարբեր վիճակներ։ Նշված վերադրմանը համապատասխանող խտության մատրիցը հետևյալն է

$$\hat{\rho }=(c_1|\downarrow >+c_2|\uparrow >)(c_1^{*}<\downarrow |+c_2^{*}<\uparrow |)=|c_1{|}^2|\downarrow ><\downarrow |+|c_2{|}^2|\uparrow ><\uparrow |+(c_1{c}_2^{*}|\downarrow ><\uparrow |+c_1^{*}{c}_2|\uparrow ><\downarrow |):$$

Ենթահամակարգի նկարագրությունը

Խտության մատրիցի օգտագործման անհրաժեշտությունը պարզվում է քվանտային համակարգի ենթահամակարգը դիտարկելիս։ Դիցուք $A$-ն և $\tilde{A}$-ն քվանտային համակարգեր են, որոնք որպես ամբողջություն նկարագրվում են $|\psi ⟩$ վեկտորով։ Կոմպոզիտային համակարգի $\mathscr{H}$ hիլբերտյան տարածությունը տենզորային արտադրյալն է ենթահամակարգների տարածությունների $\mathscr{H}={\mathscr{H}}_{𝒜}\otimes {\mathscr{H}}_{\widetilde{𝒜}}$: Դա նշանակում է որ $\mathscr{H}$ տարածության բազիսը կարելի է կազմել ${\mathscr{H}}_{𝒜}$-ի և ${\mathscr{H}}_{\widetilde{𝒜}}$-ի $|a_i⟩$ և $|{\tilde{a}}_j⟩$ բազիսներից վորպես տենզորային արտադրյալ $|a_i,{\tilde{a}}_j⟩=|a_i⟩\otimes |{\tilde{a}}_j⟩$:

Դիտարկենք $A$ ենթահամակարգում $f$ ֆիզիկական մեծության չափումը։ Աիդ մեծության միջինը տրվում է հետևյալ արտահայտությամբ

$⟨\psi |\hat{f}|\psi ⟩=\sum _{i,j}\sum _{i^{\prime },j^{\prime }}⟨\psi |a_i,{\tilde{a}}_j⟩⟨a_i,{\tilde{a}}_j|\hat{f}|a_{i^{\prime }},{\tilde{a}}_{j^{\prime }}⟩⟨a_{i^{\prime }},{\tilde{a}}_{j^{\prime }}|\psi ⟩=\sum _{i^{\prime }}[\sum _i⟨a_{i^{\prime }}|(\sum _j⟨{\tilde{a}}_j|\psi ⟩⟨\psi |{\tilde{a}}_j⟩)|a_i⟩⟨a_i|\hat{f}|a_{i^{\prime }}⟩]=\sum _{i^{\prime }}⟨a_{i^{\prime }}|(\sum _j⟨{\tilde{a}}_j|\psi ⟩⟨\psi |{\tilde{a}}_j⟩)\hat{f}|a_{i^{\prime }}⟩={\mathrm{T}\mathrm{r}}_A({\hat{\rho }}_A\hat{f})$

Այստեղ ${\hat{\rho }}_A$-յով նշանակված է $A$ ենթահամակարգի խտության մատրիցը որը տրվում է $|\psi ⟩⟨\psi |$ օպերատորի մասնակի հետքով։ Կարեվոր է նշել որ չնայած ամբողջական համակարգի մաքուր վիճակում գտնվելուն, նրա ենթահամակարգը ընդհանուր առմամբ գտնվում է խառը վիճակում։ Միայն $A$ և $\tilde{A}$ ենթահամակարգերի խճճված չլինելու դեպքում նրանցից յուրաքանչյուրը նույնպես կգտնվի մաքուր վիճակում։ Այդ դեպքում $|\psi ⟩=|{\psi }_A⟩\otimes |{\psi }_{\tilde{A}}⟩$իսկ ${\hat{\rho }}_A=|{\psi }_A⟩⟨{\psi }_A|$:

Գրականություն

• Կաղապար:Книга
• Կաղապար:Книга