Կառնոյի թեորեմ

Կառնոյի առաջին թեորեմը

Թեորեմ։ Եռանկյանն արտագծած շրջանագծի կենտրոնից եռանկյան կողմերն ունեցած հեռավորությունների գումարը հավասար է ներգծած և արտածած շրջանագծերի շառավիղների գումարին։

Ապացուցում

Դիցուք $D$-ն $ABC$ եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի կենտրոնն է։ Այդ կետի հեռավորությունները եռանկյան $a,b,c$ կողմերից նշանակենք համապատասխանաբար $G,H,F:GDHB$ քառանկյանը կարելի է արտագծել շրջանագիծ($\mathrm{\angle }DHB=90,\mathrm{\angle }DGB=90=>\mathrm{\angle }DHB+\mathrm{\angle }DGB=180$)։ Նկատենք, որ ըստ Պտղոմեոսի թեորեմի

$AP\cdot B^{\prime }{C}^{\prime }=C^{\prime }P\cdot A{B}^{\prime }+B^{\prime }P\cdot A{C}^{\prime }$ կամ $R\cdot \frac{a}{2}=P{C}^{\prime }\cdot \frac{b}{2}+P{C}^{\prime }\cdot \frac{c}{2}$ (1)

Դիտարկենք $B{C}^{\prime }O{A}^{\prime }$ և $C{A}^{\prime }O{B}^{\prime }$ քառանկյունները։ Կստանանք՝

$R\cdot \frac{c}{2}=P{B}^{\prime }\cdot \frac{a}{2}+P{A}^{\prime }\cdot \frac{b}{2}$ (2)

$R\cdot \frac{b}{2}=P{A}^{\prime }\cdot \frac{c}{2}+P{C}^{\prime }\cdot \frac{a}{2}$ (3)

Գումարելով (1), (2), (3) հավասարությունները, կստանանք՝

$R\cdot p=PA\cdot \frac{b+c}{2}+PB\cdot \frac{a+c}{2}+PC\cdot \frac{a+b}{2}$

որտեղ $p$-ն $ABC$ եռանկյան կիսապարագիծն է։

$R\cdot p=PA\cdot (p-\frac{a}{2})+PB\cdot (p-\frac{b}{2})+PC\cdot (p-\frac{c}{2})$

$R\cdot p=(PA+PB+PC)\cdot p-(\frac{a\cdot PA}{2}+\frac{b\cdot PB}{2}+\frac{c\cdot PC}{2})$

$R\cdot p=(PA+PB+PC)\cdot p-S$

$R\cdot p=(PA+PB+PC)\cdot p-pr$ որտեղից՝

$R+r=PA+PB+PC$

Կաղապար:Անավարտ