Կատարյալ թիվ

Կատարյալ թիվ, այն բնական թիվն է, որը հավասար է իրենից բացի, իր բոլոր բաժանարարների գումարին։

Պատմություն

Նշված հատկություն ունեցող թվերով հետաքրքրվել են դեռևս հին հույները, ովքեր նկատել էին, որ այդպիսի թվեր շատ քիչ կան բնական թվերի մեջ և նրանց տվել են «կատարյալ» անունը (հին հունարեն՝ τέλειος αριθμός). Կատարյալ թվերն ուսումնասիրելով, հույն փիլիսոփա Էվկլիդեսը եկավ այն եզրակացության, որ, եթե որևէ k բնական թվի դեպքում 2^k-1 թիվը պարզ է, ապա n=2^k-1(2^k-1) թիվը կատարյալ է։

2^k−1 տեսքի պարզ թվերն ստացել են Մերսենի թվեր անունը՝ թվերի տեսությունն ու կատարյալ թվերն ուսումնասիրած տասնյոթերորդ դարի վանական Մարեն Մերսենի պատվին։

Օրինակներ

Կաղապար:Հիմնական հոդված Հին հույներին հայտնի են եղել 6, 28, 496 և 8128 կատարյալ թվերը և նրանց թվացել է, թե այլ կատարյալ թիվ չկա Հույն մաթեմատիկոս Նիկոմաքոսը նշել է 8128 կատարյալ թիվը դեռևս մ.թ.ա. 100 թ.։ 1456-ից 1461 թթ. ժամանակահատվածում գրված ձեռագրում մի անհայտ մաթեմատիկոս արել է ամենավաղ հղումը հինգերորդ կատարյալ 33 550 336 թվի մասին, որն այդ ժամանակ հայտնաբերված է եղել։ 1588 թ. իտալացի մաթեմատիկոս Պիետրո Կատալդին հայտնաբերել է վեցերորդ (8 589 869 056) և յոթերորդ (137 438 691 328) կատարյալ թվերը։

Հատկություններ

Յուրաքանչյուր կատարյալ թիվ հավասար է առաջին Կաղապար:Nowrap հատ կենտ թվերի խորանարդների գումարին՝

$\begin{array}{cccc}6& =2^1(2^2-1)& & =1+2+3,\\ 28& =2^2(2^3-1)& & =1+2+3+4+5+6+7=1^3+3^3,\\ 496& =2^4(2^5-1)& & =1+2+3+\cdots +29+30+31\\ & & & =1^3+3^3+5^3+7^3,\\ 8128& =2^6(2^7-1)& & =1+2+3+\cdots +125+126+127\\ & & & =1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3+13^3+15^3,\\ 33550336& =2^{12}(2^{13}-1)& & =1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\ & & & =1^3+3^3+5^3+\cdots +123^3+125^3+127^3.\end{array}$

Կենտ կատարյալ թվեր

Մինչև հիմա կենտ կատարյալ թվեր չեն հայտնաբերվել, սակայն, չի ապացուցվել նաև, թե նրանք չկան։ Ապացուցված է, որ կենտ կատարյալ թիվը, եթե այն կա, ունի 75-ից ոչ պակաս պարզ բաժանարար։
Կենտ կատարյալ թվեր որոնելով կա զբաղվող հատուկ նախագիծ՝ OddPerfect.org Կաղապար:Webarchive։