Կելվինի ձևափոխություն

Կաղապար:Անաղբյուր Այս հոդվածը Կելվինի ձևափոխության մասին է, որն օգտագործվում է հարմոնիկ ֆունկցիաների հետազոտման ապարատում։

Անվերջ տարածություններում հարմոնիկ ֆունկցիաների հետազոտման ժամանակ հաճախ հարմար է լինում կցել անվերջ հեռու կետը(∞) Rⁿ - ին։

Կելվինի ձևափոխության օգնությամբ ստանալու ենք նոր ֆունկցիա, սակայն մինչ դրան անցնելը սկզբում հետազոտենք Rⁿ տարածության ինվերսիան 0 կենտրոնով և R շառավղով շրջանի նկատմամբ։ Ցանկացած x կետի համապատասխանության մեջ դնենք x^* կետը հետևյալ ձևով՝

$x^{*}=\frac{R^2}{|x{|}^2}x.$

Մասնավորաբար R=1 - ի դեպքում այն կընդունի հետևյալ տեսքը

$\{\begin{array}{cc}x/|x{|}^2,& x\ne 0,\mathrm{\infty }\\ 0,& x=\mathrm{\infty }\\ \mathrm{\infty },& x=0\end{array}$

Ցանկացած E⊂Rⁿ բազմության համար սահմանենք E^* բազմությունը հետևյալ կերպ՝

E^* = {x^* : x ∈ E}

Այս ձևափոխության կարևոր հատկույուններից մեկն այն է, որ այն արտապատկերում է անվերջ հեռու կետը 0-ի և հակառակը։

Տրված u ֆունկցիայի համար E⊂Rⁿ\{0} բազմության վրա սահմանենք K[u] ֆունկցիա E^* բազմության վրա հետևյալ ձևով՝

$K[u](x^{*})=\frac{|x{|}^{n-2}}{R^{2n-4}}u(x)=\frac{1}{|x^{*}{|}^{n-2}}u(x)=\frac{1}{|x^{*}{|}^{n-2}}u\left(\frac{R^2}{|x^{*}{|}^2}{x}^{*}\right).$

Մասնավորապես միավոր շրջանի դեպքում այն կստանա հետևյալ տեսքը՝

$K[u](x)=|x{|}^{2-n}u(x^{*}).$

K[u]-ն կոչվում է u ֆունկցիայի Կելվինի ձևափոխություն։

Երբ n=2 ,ապա $K[u](x)=u(x^{*}).$

Հեշտությամբ կարելի է համողվել, որ K[K[u]]=u

Կելվինի ձևափոխությունը նաև գծային է, այսինքն՝ եթե u-ն և v-ն տրված ֆունկցիաներ են E-ի վրա և b, c-ն հաստատուններ են, ապա

K[bu+cv]=bK[u]+cK[v], E^* - ի վրա։

Կելվինի ձևափոխության կարևորագույն առանձնահատկությունն այն է , որ այն պահպանում է ֆունկցիայի հարմոնիկությունը,այսինքն՝ եթե u-ն հարմոնիկ ֆունկցիա Է E բազմության վրա, ապա K[u] - ն հարմոնիկ է E^* բազմության վրա։

Ծանոթագրություններ

• Կաղապար:Cite book
• Կաղապար:Cite book