Մոտավոր ինտեգրում

Մոտավոր ինտեգրում որոշյալ ինտեգրալների, հաշվողական մաթեմատիկայի բաժին, որն զբաղվում է որոշյալ ինտեգրալների հաշվման մեթոդների մշակմամբ և կիրառությամբ։ Եթե $y=f(x)$ ֆունկցիան անընդհատ է $[a,b]$ հատվածի վրա և հայտնի է $f(x)$-ի նախնական $F(x)$ ֆունկցիան, ապա $f(x)$-ի որոշյալ ինտեգրալը $[a,b]$-ի վրա $(I(f)$-ը) հաշվում են Լայբնից–Նյուտոնի բանաձևով՝

$I(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$։

Բայց միշտ չէ, որ հնարավոր է գտնել $f(x)$-ի նախնականը, ուստի հարկ է լինում փնտրել $I(f)$-ի հաշվման այլ ուղիներ։ Այդպիսի ուղիներից մեկը $I(f)$-ի մոտավոր հաշվումն է քառակուսային բանաձևերի միջոցով։ Պարզագույն քառակուսային բանաձևը, որն $I(f)$-ը արտահայտում է $f(x)$-ի ինչ–որ արժեքների գծային կոմբինացիայով, հետևյալ տեսքի է՝

$S_n(f)=\sum _{k=1}^n{A}_{k}f(x_k)(1)$

այստեղ $x_1,x_2....,x_n$-երը $[a,b]$-ի կետեր են (հանգույցներ են), իսկ $A_k$ գործակիցները՝ թվեր (կշիռներ), $I(f)$-ի արժեքը ընդունվում է մոտավորապես հավասար $S_n(f)$-ին՝ $S_n(f)\approx I(f)$։ $Rn(f)=I(f)-S_n(f)$-ը անվանում են քառակուսային բանաձևի սխալ։ $(1)$ բանաձևի մեջ մտնում են$f(x)$-ից անկախ $(2n+1)$ հատ պարամետրեր՝ $n,x_1,x_2....,x_n,A_1,A_2....,A_n$։ Այդ պարամետրերը ընտրում են այնպես, որ $R_n(f)$ սխալը հնարավորին չափով փոքր լինի։

Պարզագույն քառակուսային բանաձևերի օրինակներ են․

Ուղղանկյունների բանաձևը

$A_k=\frac{b-a}{n}=h,x_k=a+(k-\frac{1}{2}h)(k=1,2....,n)$, և հետևաբար

$S_n(f)=h\sum _{k=1}^{n}f(x_k)$։ Եթե $|f^{″}(x)|⩽M,x\in [ab]$, ապա

$R_n(f)⩽\frac{(b-a{)}^3}{n^2}\cdot M$

Սեղանների բանաձևը

$I(f)\approx S_n(f)=\frac{b-a}{n}(\frac{(f_0+f_n)}{2}+f_1+f_2+....+f_{n-1})$,

որտեղ $f_k=f(a+kh),h=\frac{b-a}{n}(k=0,1,2....,n)$։

Սիմպսոնի բանաձևը

ա

բ

$I(f)\approx S_n(f)=\frac{h}{3}[(f_0+f_{2n}+4(f_1+f_3+....+f_{2n-1})+(f_2+f_4+....+f_{2n})]$

որտեղ

$h=\frac{b-a}{2n},f_k=f(a+hk)(k=0,1,2....2n)$։

Ուղղանկյունների և սեղանների բանաձևի կիրառումը երկրաչափորեն նշանակում է՝ $y=f(x)$-ի գրաֆիկով և $x=a,x=b,y=0$ ուղիղներով սահմանափակված կորագիծ սեղանի մակերեսի՝ $I(f)$-ի փոխարինում համապատասխանաբար որոշակի ուղղանկյունների $(S_1,S_2,....,S_n)$, սեղանների $(S_1^1,S_2^1,....,S_n^1)$ մակերեսների գումարով (գծ․ ա, բ)։

«Մոտավոր ինտեգրում» տերմինը օգտագործում են նաև դիֆերենցիալ հավասարումների մոտավոր լուծման դեպքում։

Գրականություն

• Крылов В․ И․, Приближенное вычисление интегралов, 2 изд․, М․, 1967
• Березин И․ С․, Жидков Н․ П․, Методы вычислений, 2 изд․, т․ 2, М․, 1962