Յակոբիի մեթոդ

Յակոբիի մեթոդը գծային հանրահաշվում հավասարումների համակարգերի լուծման պարզ իտերացիայի տարատեսակներից է։ Այն անվանվել է ի պատիվ Կարլ Գուստավ Յակոբիի։

Խնդրի դրվածքը

Վերցնենք գծային հավասարումների համակարգը.

$A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$, где $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right),\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$

կամ

$\{\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+\dots +a_{1n}{x}_n& =& b_1\\ \dots \\ a_{n1}{x}_1+\dots +a_{nn}{x}_n& =& b_n\end{array}$

Մեթոդի նկարագրությունը

Որպեսզի կառուցենք Յակոբիի մեթոդի իտերատիվ ընթացակարգը, անհրաժեշտ է իրականացնել $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$ հավասարումների համակարգի նախնական ձևափոխում $\overrightarrow{x}=B\overrightarrow{x}+\overrightarrow{g}$ իտերացիոն տեսքին։ Այն կարող է կատարվել հետևյալ կանոններից որևէ մեկի համաձայն՝

• $B=E-D^{-1}A=D^{-1}(D-A),\overrightarrow{g}=D^{-1}\overrightarrow{b};$

  $B=-D^{-1}(L+U)=-D^{-1}(A-D),\overrightarrow{g}=D^{-1}\overrightarrow{b}$

  $D_{ii}^{-1}=1/D_{ii},D_{ii}\ne 0,i=1,2,...,n,$

որտեղ ըստ ընդունված նշանակումների $D$-ն մատրից է, որի գլխավոր անկյունագծի վրա գտնվում են $A$ մատրիցի համապատասխան էլեմենտները, իսկ մնացած բոլոր էլեմենտները զրոներ են, այնինչ $U$ և $L$ մատրիցները պարունակում են $A$ մատրիցի վերևի և ներքևի եռանկյունային մասերը, որոնց գլխավոր անկյունագծի վրա զրոներ են, իսկ $E$-ն միավոր մատրից է։

Այդ դեպքում լուծման գտնելու ընթացակարգը ունիայսպիսի տեսք՝

${\overrightarrow{x}}^{(k+1)}=B{\overrightarrow{x}}^{(k)}+\overrightarrow{g},$

կամ ըստ էլեմենտային բանաձևի տեսքով՝

$x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum _{j\ne i}{a}_{ij}{x}_j^{(k)}),i=1,2,\dots ,n,$

որտեղ $k$-ն իտերացիայի հաշվիչն է։

Ի տարբերություն Զեյդելի մեթոդի մենք չենք կարող փոխարինել $x_i^{(k)}$-ը $x_i^{(k+1)}$-ի իտերացիայի գործընթացի ընթացքում, քանի որ այդ արժեքները անհրաժեշտ են մյուս հաշվարկների համար։

Սա ամենաէական տարբերությունն է գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծման Յակոբիի և Գաուս-Զեյդել մեթոդների միջև։ Այսպիսով, յուրաքանչյուր իտերացիայի ժամանակ անհրաժեշտություն է առաջանում մոտարկումների երկու վեկտորները՝ հին և նոր, պահպանել։

Զուգամիտության պայման

Բերենք զուգամիտության մեթոդի բավարար պայման։ Կաղապար:Message box

Դադարեցման պայմանը

Իտերացիոն գործընթացի ավարտի պայմանը անհրաժեշտ $\epsilon$ ճշգրտության դեպքում ունի այսպիսի տեսք՝

$\parallel x^{(k+1)}-x^{(k)}\parallel \le \frac{1-q}{q}\epsilon$։

$B$ (երբ $\parallel B\parallel =q<1/2$) մատրիցի համար առավել լավ այն կատարվում է, երբ

$\parallel x^{(k+1)}-x^{(k)}\parallel \le \epsilon$։

Այս չափանիշը չի պահանջում մատրիցի նորմայի հաշվարկ և գործնականում հաճախ է օգտագործվում։ Այդ դեպքում կրկնվող գործընթացի ավարտի ճշգրիտ պայմանը ունի այսպիսի տեսք՝

$\parallel A{x}^{(k)}-b\parallel \le \epsilon$

և պահանջում է լրացուցիչ բազմապատկում մատրիցն վեկտորին յուրաքանչյուր իտերացիայում, որը մոտավորապես երկու անգամ մեծացնում է ալգորիթմի հաշվարկային բարդությունը։

Ալգորիթմ

Ներքևում բերենք ալգորիթմի իրականացումը С++ -ում։

#include <math.h>
const double eps = 0.001; ///< ցանկալի ճշտությունը

..........................

/// N - մատրիցի չափը; A[N][N] - գործակիցների մատրիցն, F[N] - ազատ անդամների սյունը,
/// X[N] - սկզբնական մոտարկումը, պատասխանը նույնպես գրվում է X[N]-ում;
void Jacobi (int N, double** A, double* F, double* X)
{
	double* TempX = new double[N];
	double norm; // նորման, որոշված որպես ամենամեծ տարբերությունը հարևան իտերացիաների սյուների միջև

	do {
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			TempX[i] = F[i];
			for (int g = 0; g < N; g++) {
				if (i != g)
					TempX[i] -= A[i][g] * X[g];
			}
			TempX[i] /= A[i][i];
		}
        norm = fabs(X[0] - TempX[0]);
		for (int h = 0; h < N; h++) {
			if (fabs(X[h] - TempX[h]) > norm)
				norm = fabs(X[h] - TempX[h]);
			X[h] = TempX[h];
		}
	} while (norm > eps);
	delete[] TempX;
}

Տես նաև

• Գաուս-Զեյդելի մեթոդ