Յակոբյ թետա ֆունկցիա

Մաթեմատիկական ֆունկցիայի տեսության մեջ Յակոբյան թետա ֆունկցիաները կազմում են երկու բարդ փոփոխականների հոլոմորֆ ֆունկցիաների հատուկ դաս։ Նրանք անվանվել են գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Գուստավ Յակոբ Յակոբիի պատվին և դասվում են այսպես կոչված էլիպսային մոդուլային ֆունկցիաների։ Ջակոբին առաջինն էր, ով համակարգված կերպով ուսումնասիրեց դրանք և դրա հիման վրա մշակեց էլիպսային ֆունկցիաների իր տեսությունը։ Դրանք մի քանի փոփոխականների թետա ֆունկցիաների շատ ավելի մեծ դասի հատուկ դեպք են, որոնք սովորաբար կարող են կառուցվել R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} բացատների ցանցերից։

Թետա ֆունկցիաների քանորդները, որոնք բաժանվում են այսպես կոչված թետա զրոյական արժեքի ֆունկցիաների վրա, կոչվում են ամպլիտուդային ֆունկցիաներ։ Ամպլիտուդային ֆունկցիաները կազմում են էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների էլիպսային անալոգները։ Ինչպես բնորոշ է էլիպսային ֆունկցիաներին, Յակոբյան թետա ֆունկցիաները ունեն կրկնակի պարբերականություն իրենց ներսում գտնվող բարդ հարթության (ցանցային կառուցվածքի) իրական և երևակայական ուղղությունների երկայնքով։

Միևնույն ժամանակ, դրանք կարող են ներկայացվել որպես անվերջ շարք և որպես անվերջ արտադրյալ, որի գումարելիները կամ գործակիցները բաղկացած են էքսպոնենցիալ և կոսինուս կամ սինուսային գործակիցների արտադրյալների տարբերակների համակցությունից։ Յակոբյան թետա ֆունկցիաները կարևոր դեր են խաղում էլիպսային ֆունկցիաների, մոդուլային ձևերի, քառակուսի ձևերի և մոդուլային տարածությունների տեսության մեջ։ Ֆիզիկայի մեջ դրանք կարևոր են նաև դիֆուզիոն հավասարման և ջերմահաղորդման հավասարման, այսպես կոչված, ջերմահաղորդման միջուկը լուծելու համար։

Սահմանում

Հիմնական Jacobi theta ֆունկցիաները կիսով չափ կրկնապատկված պարբերական էլիպսային ֆունկցիաներ են և սահմանվում են որպես անսահման գումարներ.

${\vartheta }_1(z;w)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1/2}\exp [(2k+1)iz+(k+\frac{1}{2}{)}^2\ln (w)]$

${\vartheta }_2(z;w)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp [(2k+1)iz+(k+\frac{1}{2}{)}^2\ln (w)]$

${\vartheta }_3(z;w)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp [2kiz+k^2\ln (w)]$

${\vartheta }_4(z;w)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\exp [2kiz+k^2\ln (w)]$

Բողոքական գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Գուստավ Յակոբ Յակոբին այս վերլուծական աշխատանքները ներկայացրել է 1829 թ.

Նա դրանք նշել է «Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum» գրքում։

Լրացուցիչ Jacobi theta ֆունկցիաները կարող են սահմանվել որպես անսահման արտադրյալներ հետևյալ եղանակներով.

${\vartheta }_{00}(x;y)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-y^{2n})[1+2\cos (2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]$

${\vartheta }_{01}(x;y)=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-y^{2n})[1-2\cos (2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]$

${\vartheta }_{10}(x;y)=2y^{1/4}\cos (x)\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-y^{2n})[1+2\cos (2x)y^{2n}+y^{4n}]$

Այս երեք ֆունկցիաները պարբերաբար օգտագործվում են մաթեմատիկայի մեջ և հանրահաշվորեն կապված են վերը նշված չորս ֆունկցիաների հետ։

Օգտագործելով այս երեք թետա ֆունկցիաները, կարելի է նաև սահմանել «sn», «cn» և «dn» գործառույթները։

Այս գործառույթների համար սահմանվում են նաև այսպես կոչված թետա զրոյական արժեքներ (գերմաներեն՝ Theta-Nullwerte).

${\vartheta }_{00}(0;y)={\vartheta }_{00}(y)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{y}^{k^2}$

${\vartheta }_{01}(0;y)={\vartheta }_{01}(y)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{y}^{k^2}$

${\vartheta }_{10}(0;y)={\vartheta }_{10}(y)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{y}^{(k+\frac{1}{2}{)}^2}$

Այստեղ ցուցադրված անսահման գումարները տալիս են ճիշտ նույն արժեքները, ինչ x-արժեք զրոյի համար նշված անսահման արտադրյալները։

Ներկայացում մաթեմատիկական ինտեգրալների միջոցով

Այսպիսով, հիմնական թետա ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել այսպես կոչված ոչ պատշաճ ինտեգրալների միջոցով։

${\vartheta }_{00}(v)=1+\frac{4v\sqrt{\ln (1/v)}}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\exp [-\ln (1/v)x^2]\{1-v^2\cos [2\ln (1/v)x]\}}{1-2v^2\cos [2\ln (1/v)x]+v^4}\mathrm{d}x$

Թետա օրինակները ${\theta }_3(\frac{1}{2})$ և ${\theta }_3(\frac{1}{3})$ կցուցադրվեն։

${\vartheta }_{00}\left(\frac{1}{2}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n^2}}=1+2{\pi }^{-1/2}\sqrt{\ln (2)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\exp [-\ln (2)x^2]\{16-4\cos [2\ln (2)x]\}}{17-8\cos [2\ln (2)x]}\mathrm{d}x$

${\vartheta }_{00}\left(\frac{1}{2}\right)=2.128936827211877158669\dots$

${\vartheta }_{00}\left(\frac{1}{3}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{3^{n^2}}=1+\frac{4}{3}{\pi }^{-1/2}\sqrt{\ln (3)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\exp [-\ln (3)x^2]\{81-9\cos [2\ln (3)x]\}}{82-18\cos [2\ln (3)x]}\mathrm{d}x$

${\vartheta }_{00}\left(\frac{1}{3}\right)=1.691459681681715341348\dots$

${\vartheta }_{00}\left(\frac{1}{5}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{5^{n^2}}=1+\frac{4}{5}{\pi }^{-1/2}\sqrt{\ln (5)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\exp [-\ln (5)x^2]\{625-25\cos [2\ln (5)x]\}}{626-50\cos [2\ln (5)x]}\mathrm{d}x$

${\vartheta }_{00}\left(\frac{1}{5}\right)=1.40320102401310720671\dots$

գործառույթների հատկությունները

Թետա ֆունկցիաների գումարման թեորեմները հետևյալն են.

${\vartheta }_{00}(x_1+x_2;y){\vartheta }_{00}(x_1-x_2;y){\vartheta }_{00}(y{)}^2={\vartheta }_{01}(x_1;y{)}^2{\vartheta }_{01}(x_2;y{)}^2+{\vartheta }_{10}(x_1;y{)}^2{\vartheta }_{10}(x_2;y{)}^2$

${\vartheta }_{01}(x_1+x_2;y){\vartheta }_{01}(x_1-x_2;y){\vartheta }_{01}(y{)}^2={\vartheta }_{00}(x_1;y{)}^2{\vartheta }_{00}(x_2;y{)}^2-{\vartheta }_{10}(x_1;y{)}^2{\vartheta }_{10}(x_2;y{)}^2$

Մաթեմատիկոս Սրինիվասա Ռամանուջանը հայտնաբերել է այս ինքնությունը և գրել այն իր հայտնի աշխատության մեջ՝ «Մոդուլային հավասարումներ և մոտարկումներ π-ին».

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^{2n-1})=(x;x^2{)}_{\mathrm{\infty }}=2^{1/6}{x}^{1/24}{\vartheta }_{10}(x{)}^{-1/6}{\vartheta }_{00}(x{)}^{-1/6}{\vartheta }_{01}(x{)}^{1/3}$

Հետևյալ արտադրանքը հետազոտվել է Լեոնարդ Օյլերի կողմից.

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^n)=(x;x{)}_{\mathrm{\infty }}=2^{-1/6}{x}^{-1/24}{\vartheta }_{10}(x{)}^{1/6}{\vartheta }_{00}(x{)}^{1/6}{\vartheta }_{01}(x{)}^{2/3}$

Եթե ​​գործում է «0 < s < 1» պայմանը, ապա վավեր է հետևյալ հավասարումը.

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{2s^k}{s^{2k}+1}={\vartheta }_{00}(s{)}^2$

Սա էլիպսային անվանական ֆունկցիայի սահմանումն է.

$q(\epsilon )=\exp [-\pi K(\sqrt{1-{\epsilon }^2})K(\epsilon {)}^{-1}]$

«K» ֆունկցիան սահմանվում է հետևյալ ինտեգրալով.

$K(r)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-r^2\sin (\phi {)}^2}}\mathrm{d}\phi$

$K(r)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{2}{\sqrt{(z^2+1{)}^2-4r^2{z}^2}}\mathrm{d}z$

Որոշ գործառույթների արժեքներ կարող են հաշվարկվել հետևյալ բանաձևով.

${\vartheta }_{00}[q(\epsilon )]=\sqrt{2{\pi }^{-1}K(\epsilon )}$

${\vartheta }_{01}[q(\epsilon )]=\sqrt[4]{1-{\epsilon }^2}\sqrt{2{\pi }^{-1}K(\epsilon )}$

Յակոբիի ինքնությունը ծագում է այս հավասարումներից.

${\vartheta }_{10}(x)=\sqrt[4]{{\vartheta }_{00}(x{)}^4-{\vartheta }_{01}(x{)}^4}$

գործառույթների արժեքները

Թետա ֆունկցիաները ունեն հետևյալ արժեքները.

${\vartheta }_{00}[\exp (-\pi )]={\pi }^{1/4}\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{4}{)}^{-1}$

${\vartheta }_{01}[\exp (-\pi )]=2^{-1/4}{\pi }^{1/4}\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{4}{)}^{-1}$

${\vartheta }_{10}[\exp (-\pi )]=2^{-1/4}{\pi }^{1/4}\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{4}{)}^{-1}$

${\vartheta }_{00}[\exp (-\sqrt{2}\pi )]=2^{-1/8}{\pi }^{1/2}\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{4}{)}^{-1/2}\mathrm{\Gamma }(\frac{5}{8}{)}^{-1}$

${\vartheta }_{00}[\exp (-\sqrt{3}\pi )]=2^{5/6}{3}^{-5/8}{\pi }^{1/2}\mathrm{\Gamma }(\frac{2}{3}{)}^{-3/2}$

Հետևյալ նույնականացման բանաձևերը օգտագործվում են մի քանի ֆունկցիայի արժեքներ որոշելու համար.

${\vartheta }_{00}[q(\epsilon {)}^2]=\cos [\frac{1}{2}\arcsin (\epsilon )]{\vartheta }_{00}[q(\epsilon )]$

${\vartheta }_{01}[q(\epsilon {)}^2]=(1-{\epsilon }^2{)}^{1/8}{\vartheta }_{00}[q(\epsilon )]$

$27\frac{{\vartheta }_{00}[q(\epsilon {)}^3{]}^8}{{\vartheta }_{00}[q(\epsilon ){]}^8}=18\frac{{\vartheta }_{00}[q(\epsilon {)}^3{]}^4}{{\vartheta }_{00}[q(\epsilon ){]}^4}+8\cos [2\arcsin (\epsilon )]\frac{{\vartheta }_{00}[q(\epsilon {)}^3{]}^2}{{\vartheta }_{00}[q(\epsilon ){]}^2}+1$

$27\frac{{\vartheta }_{01}[q(\epsilon {)}^3{]}^8}{{\vartheta }_{01}[q(\epsilon ){]}^8}=18\frac{{\vartheta }_{01}[q(\epsilon {)}^3{]}^4}{{\vartheta }_{01}[q(\epsilon ){]}^4}+8\sec [2\arctan (\epsilon )]\frac{{\vartheta }_{01}[q(\epsilon {)}^3{]}^2}{{\vartheta }_{01}[q(\epsilon ){]}^2}+1$

$\{\frac{{\vartheta }_{01}[q(\epsilon {)}^5{]}^2}{{\vartheta }_{01}[q(\epsilon ){]}^2}-1\}\{5\frac{{\vartheta }_{01}[q(\epsilon {)}^5{]}^2}{{\vartheta }_{01}[q(\epsilon ){]}^2}-1{\}}^5=64\tan [2\arctan (\epsilon ){]}^2\frac{{\vartheta }_{01}[q(\epsilon {)}^5{]}^2}{{\vartheta }_{01}[q(\epsilon ){]}^2}$

Հաշվարկման օրինակներ.

$\exp (-\pi )=q(\frac{1}{2}\sqrt{2})$

$\exp (-\sqrt{2}\pi )=q(\sqrt{2}-1)$

$\exp (-\sqrt{3}\pi )=q[\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})]$

Այս արժեքները հավասարումների մեջ միացնելը և այնուհետև վերը նշված հավասարումները լուծելը առաջացնում են հետևյալ արժեքները.

$\frac{{\vartheta }_{00}[\exp (-3\pi )]}{{\vartheta }_{00}[\exp (-\pi )]}=108^{-1/8}\sqrt{\sqrt{3}+1}$

$\frac{{\vartheta }_{00}[\exp (-3\sqrt{2}\pi )]}{{\vartheta }_{00}[\exp (-\sqrt{2}\pi )]}=3^{-1/2}\sqrt{\sqrt{6}+\sqrt{2}-1}$

$\frac{{\vartheta }_{00}[\exp (-3\sqrt{3}\pi )]}{{\vartheta }_{00}[\exp (-\sqrt{3}\pi )]}=3^{-3/4}(\sqrt[3]{2}+1)$

$\frac{{\vartheta }_{01}[\exp (-3\pi )]}{{\vartheta }_{01}[\exp (-\pi )]}=3^{-3/8}\sqrt{\sqrt{2}+\sqrt[4]{3}}$

$\frac{{\vartheta }_{01}[\exp (-3\sqrt{2}\pi )]}{{\vartheta }_{01}[\exp (-\sqrt{2}\pi )]}=3^{-1/2}\sqrt{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

$\frac{{\vartheta }_{01}[\exp (-3\sqrt{3}\pi )]}{{\vartheta }_{01}[\exp (-\sqrt{3}\pi )]}=108^{-1/4}(2\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}-1)$

$\frac{{\vartheta }_{01}[\exp (-5\pi )]}{{\vartheta }_{01}[\exp (-\pi )]}=5^{-1/2}\sqrt{3+2\sqrt[4]{5}}$

$\frac{{\vartheta }_{01}[\exp (-5\sqrt{2}\pi )]}{{\vartheta }_{01}[\exp (-\sqrt{2}\pi )]}=\frac{4}{15}\sqrt{10}\cos (\frac{1}{10}\pi )\cosh [\frac{1}{3}\text{artanh}(\frac{3}{8}\sqrt{6})]+\frac{1}{15}\sqrt{5}\tan (\frac{1}{5}\pi )$

$\frac{{\vartheta }_{01}[\exp (-5\sqrt{3}\pi )]}{{\vartheta }_{01}[\exp (-\sqrt{3}\pi )]}=\frac{2}{15}\sqrt[3]{10}(3-\sqrt{3})\sin (\frac{1}{5}\pi )+\frac{1}{15}\sqrt{15}\cot (\frac{1}{10}\pi )$

Անսահման գումարային շարք թետա ֆունկցիայով

Կենտ թվով Ֆիբոնաչիի թվերի հակադարձ գումարի անսահման գումար.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{F_{2n-1}}=\frac{\sqrt{5}}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2({\mathrm{\Phi }}^{-2}{)}^{n-1/2}}{1+({\mathrm{\Phi }}^{-2}{)}^{2n-1}}=\frac{\sqrt{5}}{4}\sum _{a=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{2({\mathrm{\Phi }}^{-2}{)}^{a-1/2}}{1+({\mathrm{\Phi }}^{-2}{)}^{2a-1}}=$

$=\frac{\sqrt{5}}{4}{\vartheta }_{10}({\mathrm{\Phi }}^{-2}{)}^2=\frac{\sqrt{5}}{8}[{\vartheta }_{00}({\mathrm{\Phi }}^{-1}{)}^2-{\vartheta }_{01}({\mathrm{\Phi }}^{-1}{)}^2]$

Այս աղբյուրների համար $\mathrm{\Phi }=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ Ոսկե համարն է։

Ֆիբոնաչիի թվերի քառակուսիների հակադարձ գումարի անսահման գումար.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{F_n^2}=\frac{5}{24}[2{\vartheta }_{10}({\mathrm{\Phi }}^{-2}{)}^4-{\vartheta }_{00}({\mathrm{\Phi }}^{-2}{)}^4+1]=\frac{5}{24}[{\vartheta }_{00}({\mathrm{\Phi }}^{-2}{)}^4-2{\vartheta }_{01}({\mathrm{\Phi }}^{-2}{)}^4+1]$

Կենտ թվանշանների հակադարձերի անսահման գումարը.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{P_{2n-1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}{\vartheta }_{10}[(\sqrt{2}-1{)}^2{]}^2=\frac{1}{2\sqrt{2}}[{\vartheta }_{00}(\sqrt{2}-1{)}^2-{\vartheta }_{01}(\sqrt{2}-1{)}^2]$

Գումարային շարքերը, որոնց հիմքը հաստատուն է գումարման ինդեքսի նկատմամբ, և ցուցիչը, որը քառակուսի է գումարման ինդեքսի նկատմամբ, միշտ կարող է արտահայտվել ϑ₀₀ ֆունկցիայի տարրական գծային համակցություններով.

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^{a{k}^2+bk+c}=\exp [\frac{4ac-b^2}{4a}\ln (x)]\left[\frac{-\pi }{a\ln (x)}{]}^{1/2}{\vartheta }_{00}\right\{\frac{\pi b}{2a};\exp [\frac{{\pi }^2}{a}\ln (x{)}^{-1}\left]\right\}$

x թվի արժեքը պետք է լինի դրական։ Օրինակ, այդ անսահման գումարը տալիս է հետևյալ արժեքները.

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{7}{11}{)}^{5k^2+3k+2}=(\frac{7}{11}{)}^{31/20}(\frac{\pi }{5}{)}^{1/2}\ln (\frac{11}{7}{)}^{-1/2}{\vartheta }_{00}\{\frac{3\pi }{10};\exp [\frac{1}{5}{\pi }^2\ln \left(\frac{7}{11}{)}^{-1}\right]\}$

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{11}{13}{)}^{7k^2+5k+3}=(\frac{11}{13}{)}^{59/28}(\frac{\pi }{7}{)}^{1/2}\ln (\frac{13}{11}{)}^{-1/2}{\vartheta }_{00}\{\frac{5\pi }{14};\exp [\frac{1}{7}{\pi }^2\ln \left(\frac{11}{13}{)}^{-1}\right]\}$

$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{13}{17}{)}^{11k^2+7k+5}=(\frac{13}{17}{)}^{171/44}(\frac{\pi }{11}{)}^{1/2}\ln (\frac{17}{13}{)}^{-1/2}{\vartheta }_{00}\{\frac{7\pi }{22};\exp [\frac{1}{11}{\pi }^2\ln \left(\frac{13}{17}{)}^{-1}\right]\}$

Ածանցյալ և ինտեգրում

Թետա զրոյական արժեքի ֆունկցիաների ածանցյալները հետևյալն են.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\vartheta }_{10}(x)=\frac{1}{2\pi x}{\vartheta }_{10}(x){\vartheta }_{00}(x{)}^{2}E[\frac{{\vartheta }_{10}(x{)}^2}{{\vartheta }_{00}(x{)}^2}]$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\vartheta }_{00}(x)={\vartheta }_{00}(x)[{\vartheta }_{00}(x{)}^2+{\vartheta }_{01}(x{)}^2]\left\{\frac{1}{2\pi x}E\right[\frac{{\vartheta }_{00}(x{)}^2-{\vartheta }_{01}(x{)}^2}{{\vartheta }_{00}(x{)}^2+{\vartheta }_{01}(x{)}^2}]-\frac{{\vartheta }_{01}(x{)}^2}{4x}\}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\vartheta }_{01}(x)={\vartheta }_{01}(x)[{\vartheta }_{00}(x{)}^2+{\vartheta }_{01}(x{)}^2]\left\{\frac{1}{2\pi x}E\right[\frac{{\vartheta }_{00}(x{)}^2-{\vartheta }_{01}(x{)}^2}{{\vartheta }_{00}(x{)}^2+{\vartheta }_{01}(x{)}^2}]-\frac{{\vartheta }_{00}(x{)}^2}{4x}\}$

Երկրորդ տիպի ամբողջական էլիպսային ինտեգրալն ունի հետևյալ սահմանումը.

$E(r)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-r^2\sin (\phi {)}^2}\mathrm{d}\phi$

$E(r)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{2\sqrt{(z^2+1{)}^2-4r^2{z}^2}}{(z^2+1{)}^2}\mathrm{d}z$

Այստեղ նշված երեք թետա ֆունկցիաներից երկուսի գործակիցի ածանցյալները միշտ ռացիոնալ կապ ունեն այդ երեք ֆունկցիաների հետ.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{{\vartheta }_{10}(x)}{{\vartheta }_{00}(x)}=\frac{{\vartheta }_{10}(x){\vartheta }_{01}(x{)}^4}{4x{\vartheta }_{00}(x)}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{{\vartheta }_{10}(x)}{{\vartheta }_{01}(x)}=\frac{{\vartheta }_{10}(x){\vartheta }_{00}(x{)}^4}{4x{\vartheta }_{01}(x)}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{{\vartheta }_{00}(x)}{{\vartheta }_{01}(x)}=\frac{{\vartheta }_{00}(x{)}^5-{\vartheta }_{00}(x){\vartheta }_{01}(x{)}^4}{4x{\vartheta }_{01}(x)}$

Այս ինտեգրալները վավեր են ϑ₀₀(x), ϑ₀1(x) և ϑ10(x) թետա զրոյական արժեք ունեցող ֆունկցիաների համար.

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\vartheta }_{00}(x)\mathrm{d}x=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2+1}=\pi \coth (\pi )\approx 3,153348$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\vartheta }_{01}(x)\mathrm{d}x=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k^2+1}=\pi \mathrm{csch}(\pi )\approx 0,272029$

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\vartheta }_{10}(x)\mathrm{d}x=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{4}{(2k+1{)}^2+4}=\pi \tanh (\pi )\approx 3,129881$

Ցուցադրված վերջնական արդյունքները հիմնված են Քոշիի ընդհանուր բանաձևերի վրա։

հինգերորդ աստիճանի հավասարումներ

Հետևյալ ձևով հինգերորդ աստիճանի հավասարումները կարող են լուծվել բոլոր իրական արժեքների համար՝ օգտագործելով հետևյալ ալգորիթմը. c∈R կարող է լուծվել՝ Հինգերորդ աստիճանի հավասարումներ

Հինգերորդ աստիճանի հավասարումներ ձևով Bring-Jerrard-Quintic

$x^5+5x=4c$

$Q=q[(2c^2+2+2\sqrt{c^4+1}{)}^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{c^4+1}+1}+c)]$

$u=\frac{2{\vartheta }_{00}(Q^5){\vartheta }_{00}(Q^{1/5})-2{\vartheta }_{00}(Q{)}^2}{{\vartheta }_{00}(Q^{1/5}{)}^2+5{\vartheta }_{00}(Q^5{)}^2-4{\vartheta }_{00}(Q{)}^2}$

$x=\frac{cu(5u^2-10u+4)}{5u^2-6u+2}$

Սա c = 1 արժեքի առաջին ճշգրիտ հաշվարկի օրինակն է.

$x^5+5x=4$

$Q=q[(4+2\sqrt{2}{)}^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{2}+1}+1)]\approx 0.1852028700803001414251518230736124606036037762504611138834393086\dots$

$u=\frac{2{\vartheta }_{00}(Q^5){\vartheta }_{00}(Q^{1/5})-2{\vartheta }_{00}(Q{)}^2}{{\vartheta }_{00}(Q^{1/5}{)}^2+5{\vartheta }_{00}(Q^5{)}^2-4{\vartheta }_{00}(Q{)}^2}\approx 0.3447357019439680107642844248203058218212701865144922007257031\dots$

$x=\frac{u(5u^2-10u+4)}{5u^2-6u+2}\approx 0.75192639869405948026865366345020738740978383913037835\dots$

Սա մեկ այլ ճշգրիտ հաշվարկի օրինակ է c = 2 արժեքի համար.

$x^5+5x=8$

$Q=q[(10+2\sqrt{17}{)}^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{17}+1}+2)]\approx 0.3063466544466074265361088194021326272090461143559097382981847\dots$

$u=\frac{2{\vartheta }_{00}(Q^5){\vartheta }_{00}(Q^{1/5})-2{\vartheta }_{00}(Q{)}^2}{{\vartheta }_{00}(Q^{1/5}{)}^2+5{\vartheta }_{00}(Q^5{)}^2-4{\vartheta }_{00}(Q{)}^2}\approx 0.26117326232214439979677125632439205703620052387333832254673599\dots$

$x=\frac{2u(5u^2-10u+4)}{5u^2-6u+2}\approx 1.16703618370164304731101943199639610129755211048801991\dots$

Սա c = 3 արժեքի երրորդ ճշգրիտ հաշվարկի օրինակն է.

$x^5+5x=12$

$Q=q[(20+2\sqrt{82}{)}^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{82}+1}+3)]\approx 0.370664951152024075624432522177568657151868089959747395750974\dots$

$u=\frac{2{\vartheta }_{00}(Q^5){\vartheta }_{00}(Q^{1/5})-2{\vartheta }_{00}(Q{)}^2}{{\vartheta }_{00}(Q^{1/5}{)}^2+5{\vartheta }_{00}(Q^5{)}^2-4{\vartheta }_{00}(Q{)}^2}\approx 0.2090460949758925319033273467025369651597551071050541509568731\dots$

$x=\frac{3u(5u^2-10u+4)}{5u^2-6u+2}\approx 1.38409179582314635924775512626713547488593506018067645\dots$

Կարևոր լրացուցիչ տեղեկատվություն.

$q[(2c^2+2+2\sqrt{c^4+1}{)}^{-1/2}(\sqrt{\sqrt{c^4+1}+1}+c)]=$

$=\exp \{-\pi [\underset{0}{\overset{1}{\int }}2(z^4+2c\sqrt{2\sqrt{c^4+1}-2c^2}{z}^2+1{)}^{-1/2}\mathrm{d}z]÷\left[\underset{0}{\overset{1}{\int }}2\right(z^4-2c\sqrt{2\sqrt{c^4+1}-2c^2}{z}^2+1{)}^{-1/2}\mathrm{d}z\left]\right\}$