Նյուտոնի երկանդամ

Պասկալի եռանկյունի

Նյուտոնի երկանդամ, բանաձև, որը հնարավորություն է տալիս ցանկացած աստիճանի բազմանդամ վերլուծել և ներկայացնել անդամների գումարի տեսքով.

$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})a^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})a^{n-1}b+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})b^n$

որտեղ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$-ը համարվում է երկանդամի գործակից, իսկ $n$-ը ցանկացած բնական թիվ։ Այս բանաձևը հայտնի է եղել հնդկական և իսլամական մաթեմատիկայում։ Նյուտոնը ստեղծել է այս բանաձևը ցանկացած աստիճանի համար՝ նույնիսկ իրական և կոմպլեքս թվերի համար։

Ընդհանրացում

Նյուտոնի երկանդամի բանաձևը հանդիսանում է $(1+x{)}^r$ ֆունկցիայի մասնավոր դեպքը՝ Թեյլորի շարքից.

$(1+x{)}^r=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})x^k$,

որտեղ r-ը կարող է լինել կոմպլեքս թիվ։ Այս ընդլայման գործակիցները կան բանաձևի մեջ.

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})=\frac{1}{k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}$

Այս շարքում՝

$(1+z{)}^{\alpha }=1+\alpha z+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{z}^2+...+\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{z}^n+...$

$|z|\le 1$

Մասնավորապես եթե $z=\frac{1}{m}$ և $\alpha =x\cdot m$, ապա ստացվում է այսպես.

${(1+\frac{1}{m})}^{xm}=1+x+\frac{xm(xm-1)}{2m^2}+...+\frac{xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!m^n}+\dots .$

Երբ $m\to \mathrm{\infty }$ և $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{m})}^m=e$ ապա.

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots +\frac{x^n}{n!}+\dots ,$:

Բազմանդամային թեորեմ

Այս բանաձևը կարելի է ընդհանրացնել ցանկացած թվի համար.

$(x_1+x_2+\cdots +x_m{)}^n=\sum _{k_j⩾0,k_1+k_2+\cdots +k_m=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})x_1^{k_1}\dots x_m^{k_m},$,

որտեղ $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}$։

Պատմություն

Երկար ժամանակ համարվում էր, որ բնական ցուցիչով աստիճանի համար այս բանաձևը, հայտնաբերել է Բլեզ Պասկալը՝ 17-րդդարում։ Մի քանի պատմաբաններ կարծում էին, որ այս բանաձևը հայտնաբերել է ճապոնացի մաթեմաթիկոս Յանու Խուեյուն, որը ապրել է 18-րդդարում, և նույնիսկ իսլամական մաթեմաթիկոս ատ Տուին (18-րդդար) և ալ Կաշին (15-րդդար)։

1676 թվականին Իսահակ Նյուտոնը ամփոփել է այս բանաձևը։

Գեղարվեստական գրականության մեջ

Գեղարվեստական գրականության մեջ Նյուտոնի երկանդամը հիշատակվում է մի քանի համատեքստերում, որտեղ խոսվում է բարդ բաների մասին։

• Արթուր Կոնան Դոյլի «Հոլմսի վերջին գործը» պատմվածքի մեջ, Հոլմսը ասում է մաթեմաթիկայի պրոֆեսոր Մորիարտիին.

• Հայտնի է Մ. Ա. Բուլգակովի «Վարպետը և Մարգարիտան» վեպի մեջբերումը. «Իմացի՛ր, Նյուտոնի երկանդամը»։ Ավելի ուշ այդ արտահայտությունը հիշատակվել է Ա. Ա. Տարկովսկու «Ստալկեր» ֆիլմում։

Տես նաև

• Կրճատ բազմապատկման բանաձևեր
• Երկանդամի գործակից