Շրջված մատրից

A մատրիցի շրջված A^T մատրիցը ստացվում է մատրիցից տողերը սյուներով փոխարինման արդյունքում։ Կրկնակի շրջված մատրիցը հավասար է սկզբնական մատրիցին։

Շրջված մատրից - $A^T$ մատրից, որը ստացվում է սկզբնական $A$ մատրիցից տողերը սյուներով փոխարինման արդյունքում։

Այլ կերպ, $m\times n$ չափի $A$ մատրիցի շրջված $A^T$ մատրիցը, որն ունի $n\times m$ չափեր, որոշվում է $A_{ij}^T=A_{ji}$ բանաձևով։

Օրինակ,

${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$ և ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

Այսինքն, շրջված մատրիցը ստանալու համար բավական է սկզբնական մատրիցում յուրաքանչյուր տող փոխարինել սյան տեսքով նույն հաջորդականությամբ։

Շրջված մատրիցների հատկությունները

• Կրկնակի $A$ մատրիցը հավասար է սկզբնական $A$ մատրիցին՝

$(A^T{)}^T=A$

• Մատրիցների գումարի շրջված մատրիցը հավասար է առանձին-առանձին շրջված մատրիցների գումարին՝

$(A+B{)}^T=A^T+B^T$

• Մատրիցների արտադրյալի շրջված մատրիցը հավասար է հակառակ հերթականությամբ առանձին-առանձին շրջված մատրիցների արտադրյալին՝

$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

• Փոխակերպման դեպքում կարելի է դուրս բերել գործակիցը՝

$(\lambda A{)}^T=\lambda A^T$

• Շրջված մատրիցի որոշիչը հավասար է սկզբնական մատրիցի որոշիչին՝

$\det A=\det A^T$

Առնչվող սահմանումներ

Սիմետրիկ մատրից – մատրից է, որը բավարարում է $S^T=S$ հարաբերակցությանը։

Որպեսզի $S$ մատրիցը լինի սիմետրիկ, անհրաժեշտ է և բավարար, որ․

• $S$ մատրիցը լինի քառակուսային,
• մատրիցի էլեմենտները, որոնք սիմետրիկ են գլխավոր անկյունագծին, լինեն հավասար, այսինքն՝ $S_{ij}=S_{ji}$։

Հակասիմետրիկ (կոսոսիմետրիկ) մատրից (հակասիմետրիկ, կոսիմետրիկ) — մատրից, որը բավարարում է $A^T=-A$ հարաբերակցությանը։

Որպեսզի $A$ մատրիցը լինի հակասիմետրիկ, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի.

• $S$ մատրիցը լինի քառակուսային,
• մատրիցի էլեմենտները, որոնք սիմետրիկ են գլխավոր անկյունագծին, լինեն հավասար ըստ մոդուլի և հակադիր ըստ նշանի, այսինքն՝ $A_{ij}=-A_{ji}$։

Այստեղից հետևում է, որ հակասիմետրիկ մատրիցի գլխավոր անկյունագծի էլեմենտները հավասար են զրոյի՝ $A_{ii}=0$։

Ցանկացած $M$ քառակուսային մատրիցի համար տեղի ունի $M=S+A$ ներկայացումը, որտեղ $S=\frac{M+M^T}{2}$-ը սիմետրիկ մասն է, իսկ $A=\frac{M-M^T}{2}$-ը՝ հակասիմետրիկ մասը։