Պասկալի հայտանիշ

Պասկալի հայտանիշ, մեթոդ, որն օգնում է ստանալու ցանկացած թվի վրա բաժանելիության հայտանիշները։ Իր տեսակով «բաժանելիության յուրահատուկ մեթոդ»։

Ընդհանուր տեսքը

Դիցուք տրված է հաշվարկման տասական համակարգում $\overline{a_n{a}_{n-1}\dots a_2{a}_1{a}_0}$ տեսքով ներկայացված $A$ բնական թիվը, որտեղ $a_0$ — միավորն է, $a_1$ — տասնյակը և այլն։ Դիցուք $m$ —ը ցանկացած բնական թիվ է, որի վրա ցանկանում ենք բաժանել և արտածել նրա վրա բաժանելիության հայտանիշը։ Գտնենք մնացորդների շարքը հետևյալ սխեմայով.

$r_1$ — $10$-ը $m$-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ

$r_2$ — $10\cdot r_1$ -ը $m$-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ

$r_3$ — $10\cdot r_2$ -ը $m$-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ

$r_n$ — $10\cdot r_{n-1}$-ը $m$-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդ

$r_1\equiv 10(\mathrm{mod}m)$

$r_i\equiv 10\cdot r_{i-1}(\mathrm{mod}m),i=\overline{2...n}$

Քանի որ մնացորդների քանակը վերջավոր է, ապա այս գործընթացն ավարտվում է (ոչ ուշ, քան $m$ քայլից)և այլևս կարելի է չշարունակել։ Սկսած որևէ $i=i_0,r_{i+p}=r_i$ որտեղ $p$-ն $\{r_i\}$ հաջորդականության ստացված պարբերություննէ։ Կարելի է ընդունել $r_0=1$։ Այդ դեպքում $A$ ունի $m$- վրա բաժանելուց ստացված նույն մնացորդը, ինչ որ $r_n\cdot a_n+\dots +r_2\cdot a_2+r_1\cdot a_1+a_0$. թիվը։

Հիմնական մասնավոր դեպքեր

2-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը

Այստեղ $m=2$: Քանի որ $10⋮2$, ապա $r_0=1,r_i=0,i\in \mathbb{N}$. Այստեղից ստանում ենք հայտնի հայտանիշը. Թիվը 2-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդը հավասար է այդ թվի վերջին թվանշանը 2-ի բաժանելուց ստացված մանցորդին, կամ սովորաբար. Թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը զույգ է։

3-ի և 9-ի վրա բաժանելիության հայտանիշները

Այստեղ $m=3$ կամ $m=9$: Քանի որ $10^i\equiv 1(mod3),i\in \mathbb{N}$ (10-ը ինչպես 9-ի, այնպես էլ 3-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 1), ապա բոլոր $r_i=1$: Նշանակում է, թիվը 3-ի (կամ 9-ի) վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասար է նրա թվանշանների գումարը 3-ի (համապատասխանաբար՝ 9-ի) վրա բաժանելիս ստացված մնացորդին, կամ այլ կերպ, թիվը բաժանվում է 3-ի (կամ 9-ի), եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի (կամ 9-ի)։

4-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը

Այստեղ $m=4$: Գտնենք մնացորդների հաջորդականությունը.$r_0=1,r_1=2,r_i=0,i\in \mathbb{N}$: Այստեղից ստանում ենք հայտանիշը. թիվը 4-ի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդը հավասարէ $2\cdot a_1+a_0$ -ը 4-ի վրա բաժանելիս ստացված մնացորդին, կամ, նկատի ունենալով, որ մնացորդը կախված է միայն վերջին երկու թվանշաններից, կստացվի. թիվը բաժանվում է 4-ի, եթե նրա վերջին երկու թվանշաններով կազմված թիվը բաժանվում է 4-ի ։

5-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը

Այստեղ $m=5$. Քանի որ $10⋮5$, ապա $r_0=1,r_i=0,i\in \mathbb{N}$. Այստեղից ստանում ենք հայտնի հայտանիշը. Թիվը 5-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդը հավասար է այդ թվի վերջին թվանշանը 5-ի բաժանելուց ստացված մանցորդին, կամ սովորաբար. Թիվը բաժանվում է 5-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը 0 է կամ 5։

7-ի վրա բաժանելիության հայտանիշը

Այստեղ $m=7$: Գտնենք մնացորդները.

1. $10=1\cdot 7+3\Rightarrow r_1=3$
2. $10\cdot r_1=4\cdot 7+2\Rightarrow r_2=2$
3. $10\cdot r_2=2\cdot 7+6\Rightarrow r_3=6$
4. $10\cdot r_3=8\cdot 7+4\Rightarrow r_4=4$
5. $10\cdot r_4=5\cdot 7+5\Rightarrow r_5=5$
6. $10\cdot r_5=7\cdot 7+1\Rightarrow r_6=1=r_0$, ցիկլը փակվում է։

Հետևաբար, ցանկացած $A=\overline{a_n{a}_{n-1}\dots a_2{a}_1{a}_0}$ թվի համար 7-ի վրա նրա բաժանելուց ստացված մանցորդը հավասար է.

$a_0+3a_1+2a_2+6a_3+4a_4+5a_5+a_6+\dots$ :

Օրինակ

Դիտարկենք 48916 թիվը։ Վերը ապացուցվածի համաձայն,

$48916\equiv 6+3\cdot 1+2\cdot 9+6\cdot 8+4\cdot 4=$

$6+3+18+48+16=91\equiv 0(mod7)$,

նշանակում է, 48916 թիվը բաժանվում է 7-ի վրա։

11 -ի վրա բաժանելիության հայտանիշը

Այստեղ $m=11$. Քանի որ $10^{2n}=99\cdot 101\dots 01+1\equiv 1(mod11)$, ապա բոլոր $r_{2i}=1$, իսկ $r_{2i-1}=10\equiv -1(mod11)$: Այստեղից կարելի է ստանալ 11-ի վրա բաժանելիության պարզ հայտանիշը.

թիվը 11-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդը հավասար է նրա թվանշանների այն գումարը 11-ի վրա բաժանելուց ստացված մնացորդին, որտեղ յուրաքանչյուր կենտ թվով արտահայտված դիրքում գտնվող թվանշանը (սկսած միավորից) վերցված է «−» նշանով։

Այլ կերպ ասած.

եթե թվի բոլոր թվանշանները բաժանենք երկու խմբի այնպես, որ մի խմբում լինեն բոլոր կենտ դիրքերում գտնվող թվանշանները, մյուսում` զույգ, յուրաքանչյուր խմբում գումարենք բոլոր թվանշանները և ստացված գումարներից մեկից հանենք մյուսը, ապա ստացված թիվը 11-ի բաժանելուց ստացված մնացորդը կլինի նույնը, ինչ ելակետային թվի համար։

Գրականություն

Признаки делимости Կաղապար:Webarchive М., "Наука" 1988 г., 94 стр. 165 000 экз. (Популярные лекции по математике)