Պոյնտինգի թեորեմ

Կաղապար:ՎիքիֆիկացումԿաղապար:Անաղբյուր Պոյnնտինգի թեորեմ, էներգիայի պահպանման օրենքը էլեկտրադինամիկայում։

$W=\underset{V}{\int }(\frac{\bar{E}\bar{D}}{2}+\frac{\bar{H}\bar{B}}{2})dV=\underset{V}{\int }(\frac{{ϵ}_a{E}^2}{2}+\frac{{\mu }_a{E}^2}{2})dV$

Ժամանակի մեջ էլեկտրական և մագնիսական փոխազդեցության հետ միասին փոխվում են նաև էլեկտրական էներգիայի և մագնիսական էներգիայի ծավալային խտությունները։ Բացահայտելու համար, թե ինչ է տեղի ունենում ամբողջ էներգիայի հետ, Մաքսվելի հավասարումներից գտնենք ածանցյալների արժեքները,

$\begin{array}{cc}& {ϵ}_a\frac{\partial \bar{E}}{\partial t}=\text{rot}\bar{H}-\bar{j}\\ & {\mu }_a\frac{\partial \bar{H}}{\partial t}=-\text{rot}\bar{E}\end{array}$

Առաջին հավասարումը սկալյար բազմապատկելով Ē-ով, իսկ երկրորդը H վեկտորով-ով ստանում ենք

Բայց,

$\begin{array}{cc}& \bar{E}\frac{\partial \bar{E}}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}\left(\stackrel{2}{\stackrel{‾}{E}}\right)=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}\left(E^2\right)\\ & \bar{H}\frac{\partial \bar{H}}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}\left(\stackrel{2}{\stackrel{‾}{H}}\right)=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial t}\left(H^2\right)\\ \end{array}$

Սակայն համաձայն նույնության

$\bar{E}\text{rot}\bar{H}-\bar{H}\text{rot}\bar{E}=-\text{div}(\bar{E}\times \bar{H})$

1 հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ տեսքեվ

$\frac{\partial }{\partial t}(\frac{{ϵ}_a{E}^2}{2}+\frac{{\mu }_a{H}^2}{2})=-\text{div}(\bar{E}\times \bar{H})-\bar{j}\bar{E}$

կամ ինտեգրելով ըստ ծավալի և փոխելով նշանը կունենանք՝

$-\frac{\partial }{\partial t}\underset{V}{\int }(\frac{{ϵ}_a{E}^2}{2}+\frac{{\mu }_a{H}^2}{2})dV=\underset{V}{\int }\bar{j}\bar{E}dV+\underset{S}{\int }\bar{\mathrm{\Pi }}d\bar{S}$

Օգտվելով Օստոգրադսկիի թեորեմից, վերափոխենք հավասարման առաջին մասի առաջին ինտեգրալը S մակերեսով, որը սահմանափակում է դիտարկվող ծավալը

$\underset{V}{\int }\text{div}(\bar{E}\times \bar{H})dV=\underset{S}{\int }(\bar{E}\times \bar{H})dS$

Այնուհետև նշանակելով

$\bar{E}\times \bar{H}=\bar{\mathrm{\Pi }}$

կստանանք

(2) հավասարումը իրենից ներկայացնում է էլեկտրամագնիսական դաշտում էներգիայի պահպանման օրենքը։

Հավասարման ձախ կողմը իրենից ներկայացնում է դիտարկվող ծավալում հակառակ նշանով էներգիայի ամբողջ պաշարի փոփոխության արագության ժամանակի մեջ։ Աջ հատվածի առաջին անդամը իրենից ներկայացնում է ծավալի հաջորդող մասերում հզորության կորուստը։ Առաջին հատվածի երկրորդ անդամը իրենից ներկայացնում է էներգիայի խտության վեկտորի հոսքը, որը միավոր ժամանակում անցնում է S մակերեսով։ Այսպիսով՝

Համաձայն վեկտոր Π-ի սահմանման՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիան յուրաքանչյուր կետում շարժվում է հարթությանն ուղղահայաց, որը ձևավորվել է Ē և H վեկտորների շնորհիվ, որը համընկնում է աջ ուղղությամբ շարժման հետ, որը նվազագույն անկյունով պտտվում է Ē վեկտորից H վեկտոր։ (3) հավասարումը հաստատում է, որ էլելտրամագնիսական դաշտի պաշարը կամայական ծավալի մեջ պայմանավորված է, առաջին հերթին, նրա մի մասի վերածմանը ջերմության, և երկրորդ, տարածության մեջ մակերևույթով էներգիայի շարժմամբ, որը սահմանափակվում է ծավալով։

Դիտարկված հավասարումը կոչվում է Ումով-Պոյտինգի թեորեմ։ Այս անվանումը տրված է ի պատիվ հայտնի ռուս գիտնական Ումովի, ով առաջին անգամ դիտարկել և հետազոտել է տարբեր տեսակի էներգիաների հոսքը տարբեր միջավայրերում, և ի պատիվ անգլիացի ֆիզիկոս Պոյնտինգի, ով հետազոտել է նմանատիպ հարցեր՝ էլեկտրամագնիսական դաշտի վերաբերյալ։