Ռելակսացիայի մեթոդ

Ռելակսացիայի մեթոդ, գծային հանրահաշվական հավասարումների լուծման իտերացիոն մեթոդ։

Մեթոդի նկարագրությունը

Գծային հավասարումների համակարգը

$\{\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+\dots +a_{1n}{x}_n& =& b_1\\ a_{21}{x}_1+\dots +a_{2n}{x}_n& =& b_2\\ & \dots & \\ a_{n1}{x}_1+\dots +a_{nn}{x}_n& =& b_n\end{array}$

բերենք այսպիսի տեսքի՝

$\{\begin{array}{ccc}{P}_{11}{x}_1+P_{12}{x}_2+\dots +P_{1n}{x}_n+c_1& =& 0\\ & \dots & \\ P_{n1}{x}_1+P_{n2}{x}_2+\dots +P_{nn}{x}_n+c_n& =& 0\end{array}$

որտեղ

$P_{ij}=-\frac{a_{ij}}{a_{ii}}$, $c_i=\frac{b_i}{a_{ii}}$

Կգտնվի $R_j$ կապը այնպես, որ

$\{\begin{array}{ccc}{R}_1^{(0)}& =& c_1-x_1^{(0)}+\sum _{j=2}^n{P}_{1j}{x}_j^{(0)}\\ R_2^{(0)}& =& c_2-x_2^{(0)}+\sum _{j=1,j\ne 2}^n{P}_{2j}{x}_j^{(0)}\\ & \dots & \\ R_n^{(0)}& =& c_n-x_n^{(0)}+\sum _{j=1}^{n-1}{P}_{nj}{x}_j^{(0)}\end{array}$

Ընտրվում է սկզբնական $X^{(0)}=0$ մոտարկումը։ Յուրաքանչյուր քայլում անհրաժեշտ է առավելագույն կապը տանել զրոյի $R_s^{(k)}=\delta x_s^{(k)}\Rightarrow R_s^{(k+1)}=0,R_i^{(k+1)}=R_i^{(k)}+P_{is}\delta x_s^{(k)}$։

Դադարեցման պայմանը՝

$|R_j^{(k)}|<\epsilon ,\mathrm{\forall }j=\overline{1,n}$։

Պատասխանը գտնվում է այս բանաձևով՝

$x_i\approx x_i^{(0)}+\sum _j\delta x_i^{(j)}$։

Օրինակ

Դիտարկենք գծային հավասարումների հետևյալ համակարգը՝

$\begin{array}{c}4x_1-x_2-6x_3+0x_4=2,\\ -5x_1-4x_2+10x_3+8x_4=21,\\ 0x_1+9x_2+4x_3-2x_4=-12,\\ 1x_1+0x_2-7x_3+5x_4=-6.\end{array}$

Հավասարումների համակարգը լուծելու համար որպես մոտարկման արժեք ընդոունենք՝ $\omega =0.5$ և նախնական մոտարկման վեկտոր՝ $\varphi =(0,0,0)$։ Համաձայն ռելակսացիայի մեթոդի հաջորդական քայլերին անցման ստանում ենք հետևյալ աղյուսակը, որն իրենից ներկայացնում է մոտարկումների հաջորդականություն։ Այն իդեալականորեն, սակայն ոչ պարտադիր մոտենում է ճիշտ լուծմանը՝ Կաղապար:Math, 38 քայլերով։

Iteration	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$
1	0.25	-2.78125	1.6289062	0.5152344
2	1.2490234	-2.2448974	1.9687712	0.9108547
3	2.070478	-1.6696789	1.5904881	0.76172125
...	...	...	...	...
37	2.9999998	-2.0	2.0	1.0
38	3.0	-2.0	2.0	1.0

Վերևում բերված հավասարումների համակարգի լուծումը ներկայացնենք Python ծրագրավորման լեզվով՝

import numpy as np

def sor_solver(A, b, omega, initial_guess, convergence_criteria):
    """
    This is an implementation of the pseudo-code provided in the Wikipedia article.
    Arguments:
        A: nxn numpy matrix.
        b: n dimensional numpy vector.
        omega: relaxation factor.
        initial_guess: An initial solution guess for the solver to start with.
        convergence_criteria: The maximum discrepancy acceptable to regard the current solution as fitting.
    Returns:
        phi: solution vector of dimension n.
    """
    phi = initial_guess[:]
    residual = np.linalg.norm(np.matmul(A, phi) - b) #Initial residual
    while residual > convergence_criteria:
        for i in range(A.shape[0]):
            sigma = 0
            for j in range(A.shape[1]):
                if j != i:
                    sigma += A[i][j] * phi[j]
            phi[i] = (1 - omega) * phi[i] + (omega / A[i][i]) * (b[i] - sigma)
        residual = np.linalg.norm(np.matmul(A, phi) - b)
        print('Residual: {0:10.6g}'.format(residual))
    return phi

# An example case that mirrors the one in the Wikipedia article
residual_convergence = 1e-8
omega = 0.5 #Relaxation factor

A = np.matrix([4, -1, -6, 0],
              [-5, -4, 10, 8],
              [0, 9, 4, -2],
              [1, 0, -7, 5])

b = np.matrix([2, 21, -12, -6])

initial_guess = np.zeros(4)

phi = sor_solver(A, b, omega, initial_guess, residual_convergence)
print(phi)

Գրականություն

• Աբրահամ Բերման, Ռոբերտ Պլեմմոնս, «Ոչբացասական մատրիցները մաթեմատիկական գիտություններում»', 1994, SIAM. Կաղապար:Isbn.
• Կաղապար:MathWorld
• Netlib-ի պատճեի օրինակով «Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման կաղապարներ», Բարեթ և այլն։

Արտաքին հղումներ

• Module for the SOR Method