Ռիմանի զետա ֆունկցիա

Ռիմանի զետա ֆունկցիան կոմպլեքս հարթության ուղղանկյուն տիրույթում։ Նկարը ստացված է Matplotlib  գրադարանի plot ֆունկցիայի օգնությամբ՝ օգտագործելով domain coloring մեթոդը.

Նկարում արտացոլված են Ռիմանի զետա ֆունկցիայի բևեռը $z=1$

Ռիմանի զետա ֆունկցիան կամ Էյլեր-Ռիմանի զետա ֆունկցիան իրենից ներկայացնում է կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիա, սահմանված ամբողջ կոմպլեքս հարթության վրա, որը հետևյալ Դիրիխլեի շարքի անալիտիկ շարունակությունն է.

$\zeta (s)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

Այս շարքը զուգամետ է $s$-ի միայն այն արժեքների համար, որոնց իրական մասը խիստ մեծ է 1-ից. $s$-ի այլ  արժեքների համար Ֆունկցիայի  ավելի ընդհանուր ներկայացումները տրված են ստորև։ Զետա ֆունկցիան էական դեր է խաղում անալիտիկ թվերի տեսությունում և ունի բազմաթիվ կիրառություններ ֆիզիկայում, հավանականությունների տեսությունում ինչպես նաև կիրառական ստատիստիկայում։

Որպես իրական փոփոխականի ֆունկցիա այն առաջինը սահմանվել և ուսումնասիրվել է Լեոնարդ Էյլերի կողմից։ Բեռնարդ Ռիմանի կողմից 1859 թվականին հրապարակվել է հայտնի Ռիմանի մենագրությունը՝ "Տրված թիվը չգերազանցող պարզ թվերի քանակի մասին" վերնագրով։ Այդ հոդվածում Էյլերի սահմանած ֆունկցիան ընդլայնվել է կոմպլեքս փոփոխականների համար, կառուցվել է դրա մերոմորֆ շարունակությունը ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ, ապացուցվել է ֆունկցիոնալ հավասարումը ինչպես նաև ցույց է տրվել այդ ֆունկցիայի ոչ տրիվիալ զրոների և պարզ թվերի բաշխման առնչությունը։

Ռիմանի զետա ֆունկցիայի արժեքները դրական զույգ կետերում հաշվվել են դեռ Էյլերի կողմից։ Դրանցից առաջինը՝  $\zeta (2)$-ը, այսպես կոչված, Բասելի խնդրի պատասխանն է։ Հետագայում՝ 1979 թվականին Ապերին ապացուցել է $\zeta (3)$-ի իռացիոնալությունը։ Էյլերին հայտնի են եղել նաև զետա ֆունկցիայի արժեքները բացասական ամբողջ կետերում։ Դրանք ռացիոնալ թվեր են և էական դեր են խաղում մոդուլյար ձևերի տեսության մեջ։ Գոյություն ունեն Ռիմանի զետա ֆունկցիայի տարատեսակ ընդհանրացումներ. Դիրիխլեի շարքերը, Դիրիխլեի L-ֆունկցիաները ինչպես նաև մի շարք այլ L-ֆունկցիաներ։

Սահմանում

Հակառակ այլ կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաների համար ընդունված նշանակմանը՝ Ռիմանի զետա ֆունկցիայի արգումենտը սովորաբար նշանակում են $s=\sigma +it$, որտեղ $\sigma$-ն և $t$-ն $s$-ի համապատասխանաբար իրական և կեղծ մասերն են։ 

Հետևյալ շարքը զուգամիտում է բոլոր s կոմպլեքս թվերի համար, որոնց իրական մասը խիստ մեծ է 1-ից.

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots \sigma =\mathrm{Re}(s)>1:$

Այդպիսի s-երի համար զետա ֆունկցիայի արժեքը սահմանվում է որպես շարքի գումարը։ Փոփոխականի նույն արժեքների համար զետա ֆունկցիայի համարժեք սահմանում կարելի է համարել հետևյալ ինտեգրալը.

$\zeta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{e^x-1}{x}^s\frac{\mathrm{d}x}{x},$

որտեղ

$\mathrm{\Gamma }(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^s\frac{\mathrm{d}x}{x}$

հայտնի գամմա ֆունկցիան է։

Պարզվում է այս ֆունկցիան կարելի է մերոմորֆ կերպով շարունակել ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ։ Երբ $s$-ը մոտենում է 1 կետին, զետա ֆունկցիայի արժեքը ձգտում է հարմոնիկ շարքի գումարին, այդպիսով՝ $s=1$ կետը հանդիսանում է այս ֆունկցիայի բևեռ։ Այն ֆունկցիայի միակ բևեռն է և այդ կետում 

$\underset{s\to 1}{\lim }(s-1)\zeta (s)=1:$

Այսպիսով՝ զետա ֆունկցիան մերոմորֆ ֆունկցիա է ամբողջ կոմպլեքս հարթության մեջ։ Այն ունի միակ պարզ բևեռ՝ $s=1$ և այդ կետում մնացքը հավասար է 1-ի։