Սահմանափակ ցիկլ

Կայուն սահմանային ցիկլ (ցուցված է թավով) և երկու այլ հետագծեր, որոնք պարուրաձև են մտնում դրա մեջ

Կայուն սահմանային ցիկլ (ցուցված է թավերով) Վան դեր Պոլ օսցիլատորի համար

Մաթեմատիկայի մեջ, երկչափ տարածության դինամիկ համակարգերի ուսումնասիրության ժամանակ սահմանային ցիկլը փակ հետագիծ է փուլային տարածության մեջ, որն ունի այնպիսի հատկություն, որ առնվազն մեկ այլ հետագիծ պտտվում է դրա մեջ, երբ ժամանակը մոտենում է անսահմանությանը, կամ երբ ժամանակը մոտենում է բացասական անսահմանությանը։ Նման վարքագիծը դրսևորվում է որոշ ոչ գծային համակարգերում։ Սահմանային ցիկլերը օգտագործվել են իրական աշխարհի բազմաթիվ տատանողական համակարգերի վարքագիծը մոդելավորելու համար։ Սահմանային ցիկլերի ուսումնասիրությունը նախաձեռնել է Անրի Պուանկարեն (1854–1912):

Սահմանում

Մենք դիտարկում ենք երկչափ դինամիկ համակարգ $$x^{\prime }(t)=V(x(t))$$ որտեղ $$V:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$$ հարթ ֆունկցիա է։ Այս համակարգի հետագիծը որոշակի հարթ ֆունկցիա է $x(t)$ արժեքներով ${ℝ}^2$, որը բավարարում է այս դիֆերենցիալ հավասարմանը։ Նման հետագիծը կոչվում է փակ (կամ պարբերական), եթե այն հաստատուն չէ, բայց վերադառնում է իր սկզբնական կետին, այսինքն, եթե կա որոշակի $t_0>0$ այնպես, որ $x(t+t_0)=x(t)$ բոլորի համար $t\in ℝ$. Ուղեծիրը ենթաբազմության հետագծի պատկերն է ${ℝ}^2$. Փակ ուղեծիրը կամ ցիկլը փակ հետագծի պատկերն է։ Սահմանային ցիկլը որոշ այլ հետագծի սահմանային հավաքածու է։

Հատկություններ

Ըստ Հորդանանի կորի թեորեմի՝ փակ յուրաքանչյուր հետագիծ պլանը բաժանում է երկու շրջանի՝ կորի ներքին և արտաքին։

Հաշվի առնելով սահմանային ցիկլը և դրա ներսի հետագիծը գնալով մոտենում է սահմանային ցիկլի $+\mathrm{\infty }$, այնուհետև սահմանային ցիկլի շուրջ կա այնպիսի հարևանություն, որ բոլոր հետագծերը, որոնք սկսվում են հարևանությամբ, գնալով մոտենում են սահմանային ցիկլի$+\mathrm{\infty }$: Համապատասխան պնդումը վերաբերում է հետագծին, որը գնալով մոտենում է սահմանային ցիկլի $-\mathrm{\infty }$, և նաև արտաքին հետագծերի համար, որոնք մոտենում են սահմանային ցիկլին։

Կայուն, անկայուն և կիսակայուն սահմանային ցիկլեր

Այն դեպքում, երբ բոլոր հարևան հետագծերը մոտենում են սահմանային ցիկլին, քանի որ ժամանակը մոտենում է անսահմանությանը, այն կոչվում է կայուն կամ գրավիչ սահմանային ցիկլ (ω-սահմանային ցիկլ)։ Եթե ​​դրա փոխարեն բոլոր հարևան հետագծերը մոտենում են դրան, քանի որ ժամանակը մոտենում է բացասական անսահմանությանը, ապա դա անկայուն սահմանային ցիկլ է (α-սահմանային ցիկլ)։ Եթե ​​կա հարևան հետագիծ, որը պարուրվում է դեպի սահմանային ցիկլի մեջ, երբ ժամանակը մոտենում է անվերջությանը, և մեկ ուրիշը, որը պարուրվում է դրա մեջ, երբ ժամանակը մոտենում է բացասական անսահմանությանը, ապա դա կիսակայուն սահմանային ցիկլ է։ Կան նաև սահմանային ցիկլեր, որոնք ոչ կայուն են, ոչ անկայուն, ոչ կիսակայուն. օրինակ, հարևան հետագիծը կարող է դրսից մոտենալ սահմանային ցիկլին, բայց սահմանային ցիկլի ներսին մոտենում է այլ ցիկլերի ընտանիք (ինչը չի t t լինի սահմանային ցիկլեր)։

Կայուն սահմանային ցիկլերը գրավիչների օրինակներ են։ Դրանք ենթադրում են ինքնուրույն տատանումներ. փակ հետագիծը նկարագրում է համակարգի կատարյալ պարբերական վարքագիծը, և այս փակ հետագծից ցանկացած փոքր շեղում ստիպում է համակարգը վերադառնալ դրան՝ ստիպելով համակարգը մնալ սահմանային ցիկլին։

Սահմանային ցիկլերի որոնում

Յուրաքանչյուր փակ հետագիծ իր ներսում պարունակում է համակարգի անշարժ կետ, այսինքն. մի կետ 𝑝  որտեղ $V^{\prime }(p)=0$. Բենդիքսսոն-Դյուլաքի թեորեմը և Պուանկարե-Բենդիքսոնի թեորեմը համապատասխանաբար կանխատեսում են երկչափ ոչ գծային դինամիկ համակարգերի սահմանային ցիկլերի բացակայությունը կամ գոյությունը։

Բաց խնդիրներ

Սահմանային ցիկլեր գտնելը, ընդհանուր առմամբ, շատ բարդ խնդիր է։ Հարթության մեջ բազմանդամ դիֆերենցիալ հավասարման սահմանային ցիկլերի թիվը Հիլբերտի տասնվեցերորդ խնդրի երկրորդ մասի հիմնական օբյեկտն է։ Անհայտ է, օրինակ, կա արդյոք որևէ համակարգ $x^{\prime }=V(x)$ հարթությունում, որտեղ երկու բաղադրիչներն էլ $V$ երկու փոփոխականների քառակուսի բազմանդամներ են, այնպիսին, որ համակարգն ունի 4-ից ավելի սահմանային ցիկլեր։

Հավելվածներ

Սահմանային ցիկլերի օրինակներ, որոնք ճյուղավորվում են Հոպֆի բիֆուրկացիայի մոտ գտնվող ֆիքսված կետերից: Հետագծերը կարմիր, կայուն կառուցվածքները մուգ կապույտ, անկայուն կառույցները բաց կապույտ: Պարամետրի ընտրությունը որոշում է սահմանային ցիկլերի առաջացումը և կայունությունը:

Սահմանային ցիկլերը կարևոր են բազմաթիվ գիտական ​​կիրառություններում, որտեղ մոդելավորվում են ինքնուրույն տատանումներ ունեցող համակարգեր։ Որոշ օրինակներ ներառում են.

• Աերոդինամիկ սահմանային ցիկլի տատանումներ։
• Հոջկին-Հաքսլիի մոդելը նեյրոններում գործողության ներուժի համար։
• Սելկովի Գլիկոլիզի մոդելը.
• Կենդանիների գեների արտահայտման, հորմոնների մակարդակի և մարմնի ջերմաստիճանի ամենօրյա տատանումները, որոնք ռիթմի մաս են կազմում, չնայած դրան հակասում են վերջին ապացույցները։
• Քաղցկեղի բջիջների միգրացիան սահմանափակ միկրոմիջավայրերում հետևում է սահմանային ցիկլի տատանումներին։
• Որոշ ոչ գծային էլեկտրական սխեմաներ ցուցադրում են սահմանային ցիկլի տատանումներ, որը ոգեշնչել է բնօրինակ Վան Դեր Պօլ մոդելին։
• Շնչառության և արյունաստեղծության վերահսկում, ինչպես երևում է Մակկի-Գլասս հավասարումներում։

Տես նաև

• Գրավիչ
• Հիպերբոլիկ հավաքածու
• Պարբերական կետ
• Ինքնատատանում
• Կայուն բազմազանություն

Հետագա ընթերցման համար

• Կաղապար:Cite book
• Կաղապար:Cite book
• Philip Hartman, "Ordinary Differential Equation", Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002.
• Witold Hurewicz, "Lectures on Ordinary Differential Equations", Dover, 2002.
• Solomon Lefschetz, "Differential Equations: Geometric Theory", Dover, 2005.
• Lawrence Perko, "Differential Equations and Dynamical Systems", Springer-Verlag, 2006.
• Arthur Mattuck, Limit Cycles: Existence and Non-existence Criteria, MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

Արտաքին կապեր

• Կաղապար:Cite web