Սեդրակյանի անհավասարություն

Անհավասարությունը հայտնի է Սեդրակյանի անհավասարություն, Էնգըլի տեսք և Տիտուի լեմմա անուններով՝ համապատասխանաբար ըստ Նաիրի Սեդրակյանի 1997 թվականի «Մի անհավասարության կիրառության մասին» հոդվածի, Արթուր Էնգըլի 1998 թվականի «Խնդիրներ լուծելու ռազմավարություններ» և Տիտու Անդրեեսկուի 2003 թվականի «Մաթեմատիկական օլիմպիական գանձեր» գրքերի։ Անհավասարությունն ուղիղ հետևանք է Կոշի-Բունյակովսկու անհավասարության։ Այդուհանդերձ, իր հոդվածում Սեդրակյանը նկատել է, որ անհավասարության այս գրելաձևն ունի խիստ օգտակար նոր կիրառություններ, և ցույց է տվել բազմաթիվ օրինակներ, թե ինչպես այն կարող է օգտագործվել տարատեսակ անհավասարություններ ապացուցելու համար։ «Հանրահաշվական անհավասարություններ» գրքում Սեդրակյանը տալիս է այս անհավասարության մի քանի ընդհանրացում։

Անհավասարության ձևակերպումը

Կամայական $a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n$ իրական և $b_1,b_2,b_3,\dots ,b_n$ դրական թվերի համար՝ $\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\cdots +\frac{a_n^2}{b_n}\ge \frac{(a_1+a_2+\cdots +a_n{)}^2}{b_1+b_2+\cdots +b_n}$։

Ուղղակի կիրառություններ

Օրինակ 1․ Նեսբիթի անհավասարություն․

Եթե $a,b,c$-ն դրական թվեր են, ապա $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$։

Օրինակ 2. Միջազգային մաթեմատիկական օլիմպիադա (IMO) 1995.

Եթե $a,b,c$-ն դրական թվեր են, և $abc=1$ , ապա $\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(b+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\ge \frac{3}{2}$։

Օրինակ 3․

Եթե $a,b$-ն դրական թվեր են, ապա $8(a^4+b^4)\ge (a+b{)}^4$։

Օրինակ 4․

Եթե $a,b,c$-ն դրական թվեր են, ապա $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge \frac{9}{2(a+b+c)}$։

Ապացույցներ

Օրինակ 1․

Ունենք, որ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{a(b+c)}+\frac{b^2}{b(a+c)}+\frac{c^2}{c(a+b)}\ge \frac{(a+b+c{)}^2}{2(ab+bc+ac)}\ge \frac{3}{2}$։

Օրինակ 2․

Ունենք, որ $\frac{(\frac{1}{a}{)}^2}{a(b+c)}+\frac{(\frac{1}{b}{)}^2}{b(a+c)}+\frac{(\frac{1}{c}{)}^2}{c(a+b)}\ge \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}{)}^2}{2(ab+bc+ac)}=\frac{ab+bc+ac}{2}\ge \frac{3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}}{2}=\frac{3}{2}$։

Օրինակ 3․

Ունենք, որ $a^4+b^4=\frac{a^4}{1}+\frac{b^4}{1}\ge \frac{(a^2+b^2{)}^2}{2}\ge \frac{(\frac{(a+b{)}^2}{2}{)}^2}{2}=\frac{(a+b{)}^4}{8}$։

Օրինակ 4․

Ունենք, որ $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\ge \frac{(1+1+1{)}^2}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2(a+b+c)}$։