Սինուսների թեորեմ

Եռանկյուն

Սինուսների թեորեմը պնդում է, որ եռանկյան կողմերը համեմատական են հանդիպակաց անկյունների սինուսներին՝

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C},$

Սինուսների թեորեմից հետևում է, որ եռանկյան մեծ անկյան դիմաց գտնվում է մեծ կողմ, մեծ կողմի դիմաց՝ մեծ անկյուն։

Ապացույց

Ենթադրենք ունենք a, b, և c կողմեր ունեցող եռանկյուն, և այդ կողմերի հանդիպակաց անկյուններն են A-ն, B-ն, և C-ն համապատասխանաբար։ C գագաթից տարված բարձրությունը եռանկյունը բաժանում է երկու ուղղանկյուն եռանկյունիների։ Նշանակենք բարձրությունը h-ով։

Այդ դեպքում.

$\sin A=\frac{h}{b}\text{ և }\sin B=\frac{h}{a}.$

Հետևաբար,

$h=b\sin A=a\sin B$

և

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$։

Նույն գործողությունները A գագաթից տարված բարձրության հետ անելիս՝ կստանանք

$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$։