Վալլիսի բանաձև

Վալլիսի բանաձև (Վալլիսի արտադրյալ), բանաձև, որն π թիվն արտահայտում է ռացիոնալ կոտորակների անվերջ արտադրյալների տեսքով։

$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{2}& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1})\\ & =(\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3})\cdot (\frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5})\cdot (\frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7})\cdot (\frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9})\cdot \cdots \\ \end{array}$

Պատմություն

1655 թվականին Ջոն Վալլիսն առաջարկել է π թիվը որոշելու բանաձև․

$\frac{\pi }{2}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n{)}^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdot \frac{10}{9}\cdot \frac{10}{11}\cdot \dots$

Ջոն Վալլիսը դա ստացել է՝ հաշվելով շրջանի մակերեսը։ Պատմականորեն Վալլիսի բանաձևը կարևորվում էր որպես անվերջ արտադրյալների առաջին օրինակներից մեկը։

Ապացուցում

Օգտագործվում է Էյլերի անվերջ արտադրյալները սինիուսի ֆոինկցիայի համար

$\frac{\sin x}{x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2{\pi }^2})$։

Ենթադրենք $x=\pi /2$, այդ դեպքում՝

$\frac{2}{\pi }=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{4n^2}),$

$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{2}& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)=\\ & =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdot \dots \end{array}$

Կիրառությունը

Այս արտադրյալը շատ դանդաղ է զուգամիտում, հետևաբար, $\pi$ թվի գործնական հաշվարկի համար Վալլիսի բանաձևի քիչ կիրառելի է։

Այնուամենայնիվ, այն օգտակար է տարբեր տեսական հետազոտություններում, օրինակ, Ստրիլինգի բանաձևի դուրսբերման ժամանակ, այն էլ եթե այս բանաձում մի փոքր փոփոխվի ավարտը․

$\pi \approx \left[\prod _{n=1}^{m-1}\frac{(2n{)}^2}{(2n-1)(2n+1)}\right]\cdot [\frac{2m}{2m-1}\cdot (\frac{2m}{2m+1}\cdot \frac{1}{4}+1)+\frac{3}{4}]=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot [\frac{8}{7}\cdot (\frac{8}{9}\cdot \frac{1}{4}+1)+\frac{3}{4}],$

ապա զուգամիտման արագությունը մեծանում է մոտ հինգ անգամ։

Արտաքին հղումներ

• Pi Formulas
• Wallis formula - Encyclopedia of Mathematics