Xʸ = yˣ հավասարում

$x^y=y^x$ հավասարման գրաֆիկը

Թեև աստիճանի բարձրացումը տեղափոխական չէ, բայց $x^y=y^x$ հավասարումը լուծում ունի որոշ $(x,y)$ թվերի համար, օրինակ՝ $x=2,y=4$։

Պատմություն

$x^y=y^x$ հավասարումը հիշատակվել է Դանիել Բեռնուլիի՝ Քրիստիան Գոլդբախին ուղղված նամակում (29 հունիսի, 1728)։ Նամակում ասվում է, որ $x\ne y$ դեպքում $(2,4)$ զույգն այդ հավասարման լուծում հանդիսացող միակ բնական թվերն են, չնայած գոյություն ունեն ռացիոնալ թվերով բազմաթիվ լուծումներ։ Գոլդբախի պատասխան նամակում (31 հունվարի, 1729) ներկայացվել է հավասարման լուծումը, որն ստացվել է $y=vx$ փոխարինմամբ։ Նմանատիպ լուծում է տվել Լեոնարդ Էյլերը։ Ի․ վան Հենգելը (J. van Hengel) նշել է, որ եթե $r,n$ դրական ամբողջ թվեր են, $r⩾3$ կամ $n⩾3,$ ապա $r^{r+n}>(r+n{)}^r,$ այդպիսով՝ հավասարումը բնական թվերով լուծելու համար բավական է դիտարկել $x=1$ և $x=2$ դեպքերը։

Հավասարումը բազմիցս դիտարկվել է մաթեմատիկական գրականության մեջ։ 1960 թվականին այն ընդգրկվել է Պատնեմի անվան ուսանողական օլիմպիադայի առաջադրանքների ցանկում, ինչը Ա. Հաուսներին դրդել է ընդլայնել լուծումների թիվը հանրահաշվական թվերով։

Լուծում իրական թվերով

Դրական իրական թվերով տրիվիալ լուծումների անսահման բազմությունը $x=y$ հավասարման լուծումներն են։ Ոչ տրիվիալ լուծումներ կարելի է գտնել, եթե ընդունենք՝ $x\ne y,$ $y=vx$։ Այդ դեպքում՝

$(vx{)}^x=x^{vx}=(x^v{)}^x$։

Հավասարման երկու կողմերն էլ $\frac{1}{x}$ աստիճան բարձրացնելու և հետո $x$-ի բաժանելու դեպքում ստանում ենք․

$v=x^{v-1}$։

Այդ դեպքում դրական իրական թվերով ոչ տրիվիալ լուծումներն արտահայտվում են որպես

$x=v^{\frac{1}{v-1}}$,

$y=v^{\frac{v}{v-1}}$։

Բնական թվերով $4^2=2^4$ ոչ տրիվիալ լուծում կարելի է ստանալ, եթե $v=2$ կամ $v=\frac{1}{2}$։

Լուծում Լամբերտի W ֆունկցիայի տերմիններով

$y^x=x^y$ հավասարման լուծումը կարելի է արտահայտել Լամբերտի $W(x)$ ոչ տարրական W ֆունկցիայով $x$ փոփոխականով․

$y^x=x^y⟺y^{\frac{1}{y}}=x^{\frac{1}{x}}$, կատարենք փոխարինում՝ $x=\frac{1}{z}$:

$y^{\frac{1}{y}}=(\frac{1}{z}{)}^{1÷\frac{1}{z}}⟺(\frac{1}{z}{)}^z=y^{\frac{1}{y}}⟺z^{-z}=y^{\frac{1}{y}}⟺z^z=y^{-\frac{1}{y}}$

Այդ դեպքում $z$ փոփոխականը կարելի է արտահայտել Լամբերտի W ֆունկցիայով․ $z=e^{W(\ln (y^{-\frac{1}{y}}\left)\right)}$

Վերջնական լուծումը կունենա հետևյալ տեսքը․ $x=e^{-W(\ln (y^{-\frac{1}{y}}\left)\right)}$

Մասնավորապես, հաշվի առնելով տվյալ ֆունկցիայի ոչ միանշանակությունը, $e^{-\frac{1}{e}}⩽y^{-\frac{1}{y}}<1$ կամ $e^{\frac{1}{e}}⩽y^{\frac{1}{y}}<1$ միջակայքում հավասարումը կունենա երկու արմատ՝ $x_1,x_2$։

Թե պարամետրերից որը ($y$ կամ $x$) կլինի փոփոխական, ըստ էության կարևոր չէ, և հավասարումը կմնա նույնը։

Եթե $x$(կամ $y$) փոփոխականի դեպքում ճիշտ է $y$(կամ $x$)<$e^{\frac{1}{e}}$ անհավասարությունը, ապա իրական թվերի մեջ արմատներ չկան։

Լուծում երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի տերմիններով

$y^x=x^y$ հավասարումը $y^x=b{x}^n,y,b=const$ հավասարման մասնավոր դեպք է, երբ $b=1$ և $n=y$։ Այս արժեքները տեղադրելով լուծման ընդհանուր բանաձևում, հեշտ է գտնել սկզբնական հավասարման լուծումը․

$y^x=x^y⟺x_{1,2,3}=y{\log }_y\left({}^{\frac{1}{2}}\right(y^{\pm \frac{1}{y\times \sqrt[y]{1}}}){)}^{-1}⟺x_{1,2,3}=-y{\log }_y({}^{\frac{1}{2}}\left(y^{\pm \frac{1}{y}}\right))$

Այս լուծումը ավելի ամբողջական է, քանի որ այն թույլ է տալիս գտնել բացասական իրական արմատներ, եթե դրանք գոյություն ունեն (քանի որ լոգարիթմը, ի տարբերություն նախորդ լուծման աստիճանացույցների, կարող է զրոյից փոքր լինել)։ Երրորդ արմատի գոյությունը բացատրվում է զույգ $y$-ի դեպքում $y^x=x^y$ և $y^x=(-x{)}^y$ հավասարումների համարժեքությամբ, սակայն գործնականում գոյություն ունի առավելագույնը երկու վավեր արմատ (բանաձևի երրորդ արմատը պարտադիր է կողմնակի է) այն պատճառով, $f(z)={}^{\frac{1}{2}}z$ երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի ֆունկցիան վերոնկարագրյալ $f(z)=z^z$ ֆունկցիայի հակադարձն է ($f(z)={}^{2}z$), որն արտահայտվում է Լամբերտի W ֆունկցիայի միջոցով, որն իր հերթին չի կարող ունենալ երկուսից ավելի վավեր արժեք։

Այս լուծումից բխում է նույնական հավասարում․ $-y{\log }_y{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})=\frac{1}{{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})}$։ Դա հեշտ է ապացուցել՝ վերը նշված երկու լուծումները հավասարեցնելով միմյանց։

$-y{\log }_y{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})=\frac{1}{{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})}⟺{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}}){\log }_y{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})=-\frac{1}{y}$, ապա, ըստ լոգարիթմի և երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի հատկությունների․

${\log }_y({}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}}){)}^{{}^{\frac{1}{2}}(y^{-\frac{1}{y}})}=-\frac{1}{y}⟺{\log }_y(y^{-\frac{1}{y}})=-\frac{1}{y}$։ Ապացուցված նույնությունը $b=-y$ առավել ընդհանուր դեպքի մասնավորն է։

Արտաքին հղումներ

• Կաղապար:Cite web
• Կաղապար:Cite web
• Կաղապար:Cite web