Բեռնուլիի բազմանդամներ

Բեռնուլիի բազմանդամի գրաֆիկ:

Բեռնուլիի բազմանդամներ, մաթեմատիկական բազմանդամներ, որոնք անվանել են ի պատիվ շվեյցարացի մաթեմատիկոս Յակոբ Բեռնուլիի։ Դրանք առաջ են եկել հատուկ ֆունկցիաների ուսումնասիրման ժամանակ, մասնավորապես Ռիմանի և Գուրվիցի ζ-ֆունկցիաների ուսումնասիրման ժամանակ։ Նաև հանդիսանում է Ապելի շարքի մասնավոր դեպք։ Ի տարբերություն օրթոգոնալ բազմանդամների, Բեռնուլիի բազմանդամները յուրահատուկ են նրանով, որ արմատների քանակը $[0,1]$ միջակայքում կախված չէ բազմանդամի աստիճանի աճից։ Աստիճանի անվերջ աճի դեպքում, Բեռնուլիի բազմանդամը մոտենում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների։

Արտահայտություն

Բեռնուլիի$B_n(x)$ բազմանդամները կարելի է որոշել տարբեր մեթոդներով։

Ակնհայտ տեսք

$B_n(x)=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{B}_{n-k}{x}^k$, որտեղ $C_n^k$-ն բինոմային գործակիցն է, $B_k$-ն՝ Բեռնուլիի թիվ,

Կամ

$B_n(x)=\sum _{m=0}^n\frac{1}{m+1}\sum _{k=0}^m(-1{)}^k{C}_m^k(x+k{)}^n:$

Ածանցյալ ֆունկցիա

Բեռնուլիի ածանցյալ ֆունկցիան հետևյալն է՝

$\frac{t{e}^{xt}}{e^t-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n(x)\frac{t^n}{n!}:$

Ներկայացումը դիֆերենցիալ օպերատորներով

$B_n(x)=\frac{D}{e^D-1}{x}^n$, որտեղ $D$ -ն՝ ֆորմալ դիֆերենցիալ օպերատոր։

Ոչ բարձ աստիճանների համար ակնհայտ տեսք

Բեռնուլիի բազմանդամի մի քանի հարտահայտություններ

$B_0(x)=1,$

$B_1(x)=x-\frac{1}{2},$

$B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},$

$B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x,$

$B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},$

$B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3-\frac{1}{6}x,$

$B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}{x}^4-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{42}.$

Հատկություն

Սկզբնական տվյալներ

Սկզբնական տվյալները Բեռնուլիի բազմանդամի$x=0$ համար համավսար են Բեռնուլիի համապատասխան թվերին։

$B_n(0)=B_n$.

Դիֆերենցում և ինտեգրում

Ածանցյալի որոշումը ածանցյալ ֆունկցիայից՝

$t{e}^{tx}\frac{1}{e^t-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B{\text{'}}_n(x)}{n!}{t}^n$.

Ձախ մասը տարբերվում է միայն $t$ բազմապատկիչով, այդպիսով՝

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B{\text{'}}_n(x)}{n!}{t}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n(x)}{n!}{t}^{n+1}$.

Հավասարացնելով գործակիցները նույն$t$ աստիճանի դեպքում, ապա կստանանք՝

$\frac{B{\text{'}}_n(x)}{n!}=\frac{B_{n-1}(x)}{(n-1)!}$,որտեղից

$B{\text{'}}_n(x)=n{B}_{n-1}(x)$. (ֆունկցիաները, որոնք բավարարում են նման հատկությանը, անվանում են Ապելի շարք)։

Վերջին հավասարումից հետևում է Բեռնուլիի շարքի ինտեգրման օրենքը։

$B_n(x)=B_n+n\underset{0}{\overset{x}{\int }}{B}_{n-1}(t)dt$.

Նույնպես օգտակար հատկություն է հավասարակշռության հատկությունը։

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_n(x)dx=0$ (երբ $n>0$ )

Թեորեմ արգումենտի բազմապատկման մասին

Եթե m-ը կամայական բնական թիվ է, ապա՝

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n(mx)\frac{t^n}{n!}=\frac{t{e}^{mxt}}{e^t-1}=\frac{1}{m}{e}^{mxt}\frac{mt(1+e^t+\cdots +e^{(m-1)t})}{e^{mt}-1}=\frac{1}{m}\sum _{s=0}^{m-1}\frac{e^{(x+\frac{s}{m})mt}mt}{e^{mt}-1}=\frac{1}{m}\sum _{s=0}^{m-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n(x+\frac{s}{m})m^n}{n!}{t}^n.$

Այստեղից բխում է արգումենտի բազմապատկման օրենքը՝

$B_n(mx)=m^{n-1}\sum _{s=0}^{m-1}{B}_n(x+\frac{s}{m})$.

Համաչափություն

$B_n(1-x)=(-1{)}^n{B}_n(x),$

$(-1{)}^n{B}_n(-x)=B_n(x)+n{x}^{n-1}:$

Արտաքին հղումներ

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York.