Մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումներ

Մասնական ածանցյալներով հավասարումներ, հավասարումներ, որոնցում անհայտը մի քանի փոփոխականի ֆունկցիա է, ընդ որում՝ այդ հավասարումը, բացի անհայտ ֆունկցիայից, պարունակում է նաև այդ ֆունկցիայի մասնական ածանցյալները, ինչպես նաև անկախ փոփոխականներ։ Այսպիսով, եթե $F$-ը տրված ֆունկցիա է, ապա $u=u(x_1,x_2,...,x_n)(n)$ փոփոխականի անհայտ ֆունկցիայի նկատմամբ մասնական ածանցյալներով հավասարումները ունի հետևյալ տեսքը՝

$F\left(x_1,x_2,...,x_n,\frac{\delta u}{\delta x_1},\frac{\delta u}{\delta x_2},...\frac{\delta u}{\delta x_n},...,\frac{{\delta }^{k_1+k_2+...+k_n}n}{{\delta }^{k1}{x}_1{\delta }^{k2}{x}_2...{\delta }^{kn}{x}_n}\right)$$=0(1)$

$(1)$ հավասարման մեջ $u$-ի մասնական ածանցյալների ամենաբարձր կարգը կոչվում է $(1)$ հավասարման կարգ։ Եթե $F$ ֆունկցիան ըստ յուրաքանչյուր արգումենտի (բացառությամբ գուցե $x_1,x_2...,x_n$երի) գծային է, ապա $(1)$-ը կոչվում է գծային հավասարում։ Այսպես՝

$\sum _{i,j=1}^n{a}_{i}j\frac{{\delta }^{2}u}{\delta x_i{x}_j}$+$\sum _{i=1}^{n}bi\frac{\delta u}{\delta x_1}$+$Cu=f(2)$

տեսքի հավասարումը ($a_{ij}=a_{ij}$, $b$-ն, $c$-ն, $f$-ը) փոփոխականների հայտնի ֆունկցիաներ են, իսկ $u$-ն՝ նույն փոփոխականների անհայտ ֆունկցիա) գծային, երկրորդ կարգի մասնական ածանցյալներով հավասարումներ է։

Մտցվում է մասնական ածանցյալներով հավասարումների դասակարգում, այն առավել պարզ է $(2)$ տեսքի հավասարումների համար. եթե

$Q(\lambda )=\left|\begin{array}{ccccc}& a_{11}-\lambda & a_{12}& ...& a_{1n}\\ & a_{21}& a_{22}-\lambda & ...& a_{2n}\\ & ...& ...& ...& ...\\ & a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}-\lambda \end{array}\right|$

$(\lambda )$-ի նկատմամբ հանրահաշվական հավասարման բոլոր արմատներն ունեն նույն նշանը, ապա $(2)$ հավասարումը անվանում են էլիպսական տիպի, եթե արմատներից մեկն ունի մյուս $(n-1)$-ին հակադիր նշան, ապա՝ հիպերբոլական, և եթե մեկ արմատը $0$ է, իսկ մյուսները նույն նշանի՝ պարաբոլական։

Մասնական ածանցյալներով հավասարումներին բերվող խնդիրների համար մտցվում է կոռեկտության հասկացություն, խնդիրը կոչվում է կոռեկտ, եթե համապատասխան մասնական ածանցյալներով հավասարմմն լուծումը գոյություն ունի, միակն է և կայուն՝ խնդրի պայմանների փոքր փոփոխությունները առաջ են բերում լուծման փոքր փոփոխություն։

Տես նաև

• Մաթեմատիկական ֆիզիկայի հավասարումներ

Արտաքին հղումներ

• Numerical methods for partial differential equations