Ուղղանկյուն եռանկյուն

Ուղղանկյուն եռանկյուն կոչվում է այն եռանկյունը, որի 1 անկյունը ուղիղ է։ Ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի և անկյունների միջև հարաբերությունը հիմք է հանդիսանում եռանկյունաչափության համար։

Ուղղանկյուն եռանկյան ամենամեծ կողմը կոչվում է ներքնաձիգ, իսկ մյուս երկու կողմերը՝ էջեր։

Եթե ուղղանկյուն եռանկյան բոլոր կողմերը հանդիսանում են ամբողջ թվեր, ապա այդ եռանկյան կողմերի երկարությունները կազմում են Պյութագորասյան եռյակներ:

Հիմնական հատկություններ

1. Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների գումարը 90° է։ Հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունները հավասար են 45°։
2. Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30°-ի անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին։
3. Եթե ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից տարված է ներքնաձիգին բարձրություն, որը ներգնաձիգը բաժանում է 2 անհավասար մասերի, ապա բարձրության քառակուսին հավասար է այդ երկու անհավասար մասերի արտադրյալին։

Մակերես

Ինչպես ցանկացած եռանկյան մակերես, ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը հավասար է հիմքի և բարձրության արտադրյալի կեսին։ Եթե եռանկյան մակերեսը նշանակենք T- ով, ապա կունենանք հետևյալ բանաձևը`

$T=\frac{1}{2}ab$

որտեղ a-ն և b-ն ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են։

Բարձրություններ

Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրություն:

Եթե ուղղանկյուն եռանկյան գագաթից տարված է բարձրություն, որը եռանկյունը բաժանում է երկու նման եռանկյունների, որոնք նման են միմյանց և նաև նման են մեծ եռանկյանը, ապա

• Ներքնաձիգին տարված բարձրությունը հանդիսանում է երկրաչափական միջին մեծություն` ներքնաձիգի երկու անհավասար մասերի համար։
• Եռանկյան յուրաքանչյուր էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին կամ նրա հատվածներին հարակից են էջերին։

Ըստ հավասարման`

$f^2=de,$

$b^2=ce,$

$a^2=cd$

որտեղ a, b, c, d, e, f ցույց են տրված գծագրում։ Ինչպես`

$f=\frac{ab}{c}.$

Բարձրության և ներքնաձիքի իրար կապող բանաձևերից մեկը հետևյալն է`

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{f^2}.$

Պյութագորասի թեորեմ

Ըստ Պյութագորասի թեորեմի`ուղղանկյուն եռանկայն ներքնաձիգի երկարության քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին։

Արտահայտված բանաձևով`

$a^2+b^2=c^2$

որտեղ c-ն հանդիսանում է եռանկյան ներքնաձիգը, իսկ a-ն և b-ն` էջերը։

Ներգծված և արտագծված եռանկյան շառավիղներ

Եթե ուղղանկյուն եռանկյանը ներգծված է շրջանագիծ և եթե այն նշանակենք r-ով, ապա այն հավասար կլինի`

$r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{ab}{a+b+c}.$

Ուղղանկյուն առանկյանն արտագծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է ներքնաձիգի կեսին․

$R=\frac{c}{2}.$

Ուղղանկյուն եռանկյանն արտագծված և ներգծված շրջանագծերի գումարը հավասար է եռանկյան էջերի կեսին.

$R+r=\frac{a+b}{2}.$

Եթե պետք է գտնել ուղղանկյուն եռանկյան էջի երկարությունը, ներգծված շրջանագծի միջոցով, ապա օգտվում ենք հետևյալ բանաձևից`

$a=\frac{2r(b-r)}{b-2r}.$

Բնութագրեր

Կողմեր և կիսապարագիծ

• $a^2-b^2=(a-b)(a+b)=c^2$
• $(s-a)(s-b)=s(s-c)$
• $s=2R+r.$
• $a^2+b^2+c^2=8R^2.$

Անկյուններ

• $\cos A\cos B\cos C=0.$
• ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=2.$
• ${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C=1.$
• $\sin 2A=\sin 2B=2\sin A\sin B.$

Մակերես

• $T=\frac{ab}{2}$
• $T=r_a{r}_b=r{r}_c$
• $T=r(2R+r)$

Արտագծված և ներգծված շրջանագծեր

• $r=s-c=(a+b-c)/2$
• $r_a=s-b=(a-b+c)/2$
• $r_b=s-a=(-a+b+c)/2$
• $r_c=s=(a+b+c)/2$
• $r_a+r_b+r_c+r=a+b+c$
• $r_a^2+r_b^2+r_c^2+r^2=a^2+b^2+c^2$
• $r=\frac{r_a{r}_b}{r_c}$

Բարձրություններ և միջնագծեր

• $h=\frac{ab}{c}$
• Միջնագծի երկարությունը հավասար է արտագծված շրջանագծի շառավղին։
• ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունը նաև հնարավոր է գտնել «Ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունների թեորեմի» միջոցով։

Ուղղանկյուն եռանկյան հավասարութան հայտանիշեր

1․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան էջը և նրան առընթեր սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ ուղղանկյուն եռանկյան էջին և նրան առընթեր անկյանը, ապա այդ երկու եռանկյունները հավասար են։

2․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը և նրան առընթեր սուր անկյունը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ եռանկյան ներքնաձիգին և առընթեր սուր անկյանը, ապա այդ եռանկյունները հավասար են։

3․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան 2 էջերը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ եռանկյան 2 էջերին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են։

4․ Եթե մի ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգը և էջը համապատասխանաբար հավասար են մի ուրիշ եռանկյան ներքնաձիգին և էջին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են։

Հատուկ ուղղանկյուն եռանկյուն

Ուղղանկյուն եռանկյան հատուկ ձևերը երկուսն են`

1. Այն ուղղանկյուն եռանկյունը, որի անկյունները հավասար են` 30-60-90
2. Այն ուղղանկյուն եռանկունը, որի անկյունները հավասար են` 45-45-90

Դիտարկենք առաջին դեպքը, եթե ուղղանկյուն եռանկյան մեջ անկյուններից մեկը հավասար է 30 աստիճանի, ապա օգտվում ենք ուղղանկյուն եռանկյան հատկություններից մեկից, ըստ որի`

Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ 30 աստիճանի դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին:

Դիտարկելով երկրորդ դեպքը, նկատում ենք, որ ուղղանկյուն եռանկյան երկու անկյունները իրար հավասար են, այսինքն` ստանում ենք հավասարասրուն աղղանկյուն եռանկյուն, որի երկու կողմերը հավասար են։

Կեպլերի եռանկյուն

Դիտարկենք եռանկյուն, որի մեջ ունենք հետևյալ կետերը` H, G, A: Ընդ որում կետերը համապատասխանաբար հանդիսանում են տվյալ եռանկյան հարմոնիկ միջին մեծությունը, երկրաչափական միջին մեծությունը և թվաբանական միջին մեծությունը։

Ըստ Կեպլերի ունենում ենք հետևյալ բանաձևը`

$\frac{A}{H}=\frac{A^2}{G^2}=\frac{G^2}{H^2}=\varphi$

և

$\frac{a}{b}={\varphi }^3,$

որտեղ $\varphi$ հավասար է $\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

Աղբյուրներ

• Երկրաչափության 7-րդ դասարանի դասագիրք

Արտաքին հղումներ

• Calculator for right triangles Կաղապար:Webarchive
• Advanced right triangle calculator