Վերջավոր տարբերությունների հաշիվ

Վերջավոր տարբերությունների հաշիվ, մաթեմատիկայի բաժին, որտեղ ֆունկցիաներն ուսումնասիրվում են արգումենտի ընդհատ փոփոխման դեպքում, ի տարբերություն դիֆերենցիալ հաշվի և ինտեգրալ հաշվի, որտեղ արգումենտը համարվում է անընդհատ փոփոխվող։

Վերջավոր տարբերություն են անվանում հետևյալ տիպի առնչությունները․ $\mathrm{\Delta }f(x_n)=f(x_{x+1})-f(x_n)$ (1-ին կարգի տարբերություն), ${\mathrm{\Delta }}^{2}f(x_n)=\mathrm{\Delta }f(x_{n+1})-\mathrm{\Delta }f(x_n)$ (2-րդ կարգի տարբերություն), ${\mathrm{\Delta }}^{k}f(x_n)={\mathrm{\Delta }}^{k-1}f(x_{n+1})-{\mathrm{\Delta }}^{k-1}f(x_n)$ (k-րդ կարգի տարբերություն), որտեղ $x_n=x_0+nh$, $h$-ը հաստատուն է, $n$-ը՝ ամբողջ թիվ։

Վերջավոր տարբերությունների դերը ընդհատ արգումենտի ֆունկցիաների տեսությունում նույնն է, ինչ ածանցյալների դերն անընդհատ արգումենտի ֆունկցիաների տեսությունում։ Այս երկու հասկացությունները կապվում են

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{\Delta }}^{n}f(x)}{h^n}=f^{(n)}(x)$

բանաձևով, որտեղ հ–ը արգումենտի երկու հարևան արժեքների տարբերությունն է։ Վերջավոր տարբերությունների հաշիվը մեծ կիրառություն ունի թվային անալիզի մի շարք բաժիններում (միջարկում, թվային դիֆերենցում և ինտեգրում, դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման թվային մեթոդներ)։ Վերջավոր տարբերությունների հաշվի կարևոր բաժիններից մեկը նվիրված է

$F[x,\mathrm{\Delta }f(x),...{\mathrm{\Delta }}^{n}f(x)]=0$

տեսքի տարբերական հավասարումների լուծմանը, որը շատ բաներով նման է դիֆերենցիալ հավասարումների լուծմանը։ Վերջավոր տարբերությունների հաշվում մեծ նշանակություն ունի ֆունկցիաների գումարման, այսինքն մեծ $k$-ի դեպքում $f(a)+f(a+h)+...+f(a+kh)$ գումարի ճշգրիտ կամ մոտավոր արժեքը գտնելու խնդիրը։ Այն լուծվում է

$\sum _{m=0}^{k-1}f(a+mh)=F(a+kh)-F(a)$

բանաձևով, որտեղ $F(x)$-ը $\mathrm{\Delta }F(x)=f(x)$ տարբերական հավասարման լուծումն է։ Վերջավոր տարբերությունների հաշվի այս բանաձևն ինտեգրալ հաշվի հիմնական բանաձևի՝ որոշյալ ինտեգրալը նախնականով արտահայտող բանաձևի հանգունակն է։ Կաղապար:Արտաքին հղումներ Կաղապար:ՀՍՀ