Ֆունկցիայի որոշման տիրույթ

Որոշման տիրույթ, բազմություն, որով տրված է ֆունկցիան։ Ֆունկցիան պետք է որոշված լինի այդ բազմության յուրաքանչյուր կետում։

Սահմանում

Եթե ֆունկցիան տրված է $X$ բազմության վրա, և $X$ բազմությանը համապատասխանում է մեկ այլ բազմություն, ապա այս դեպքում $X$բազմությանը անվանում են ֆունկցիայի որոշման տիրույթ կամ որոշման տիրույթ։

$X$ բազմությանն անվանում են $f$ ֆունկցիայի որոշման տիրույթ և նշանակում $D(f)$ կամ $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}f$ ( Կաղապար:Lang-en — «բազմություն»)։

$f$ ֆունկցիայի որոշման տիրույթը նշելու համար ընդունված է նաև հետևյալ գրելաձևը՝ $f:X\to Y$։ Սա նշանակում է, որ $D(f)=\mathrm{X}$ և $f$–ն արժեքներ է ընդունում $Y$ բազմությունից։

Երբեմն հաշվի են առնվում նաև ֆունկցիայի ենթաբազմության վրա սահմանված կանոնները։ Հաճախ այդ կանոնը տրվում է ինչ–որ արտահայտությամբ, որը ցույց է տալիս, թե ինչ գործողություններ պետք է կատարել $x$ թվով $f(x)$ ստանալու համար։

Օրինակներ

Թվային ֆունկցիաները որոշման տիրույթում ամենավառ օրինակներն են։ Չափը և ֆունկցիոնալությունը նույնպես հանդիսանում են որոշման տիրույթի կարևորագույն և բաղկացուցիչ մաս։

Թվային ֆունկցիա

Ընդունված է, որ $X$ թվային բազմությունում որոշված է $f$ թվային ֆունկցիան, եթե այն $X$ բազմության ամեն մի թվի համապատասխանեցնում է որևէ $y$ թիվ՝ $y=f(x)$։

Թվային ֆունկցիաներ. այս ֆունկցիաները բաժանվում են երկու խմբի․

• Իրական փոփոխականի՝ իրական արժեք ունեցող ֆունկցիաներ, որը տրվում է հետևյալ բանաձևով $f:ℝ\to ℝ$,
• ինչպես նաև կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիան, որը ունի հետևյալ տեսքը՝ $f:ℂ\to ℂ$,

որտեղ $ℝ$–ը իրական թվերի բազմությունն է, իսկ $ℂ$–ն կոմպլեքս թվերի բազմությունն է։

Գծային ֆունկցիա

$f(x)=x$ ֆունկցիայի որոշման տիրույթը համընկնում է $ℝ$ կամ $ℂ$բազմության հետ։

Հիպերբոլ

$f(x)=1/x$ ֆունկցիայի որոշման տիրույթը իրական թվերի բազմությունն է առանց զրոյի՝ $D(f)=ℝ\setminus \{0\}$ $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}f=ℂ\setminus \{0\}$,

քանի որ, կամայական արգումենտի դեպքում ֆունկցիայի արժեքների բազմությունում բացառվում է զրո արժեքը՝ կոտորակի հայտարարը զրո արժեք չի կարող ընդհունել։

Ռացիոնալ՝ կոտորակային ֆունկցիաներ

Այս ֆունկցիան ունի հետևյալ տեսքը․

$f(x)=\frac{a_0+a_{1}x+\dots +a_m{x}^m}{b_0+b_{1}x+\dots +b_n{x}^n}$

Այն իրենից ներկայացնում է իրական ուղիղ կամ կոմպլեքս հարթություն բացառած վերջավոր քանակի այն կետերը, որոնք $b_0+b_{1}x+\dots +b_n{x}^n=0$ հավասարման լուծումներն են։

Այդ կետերը անվանում են $f$ ֆունկցիայի բևեռներ։

Օրինակ՝ $f(x)=\frac{2x}{x^2-4}$ ֆունկցիան որոշված է բոլոր այն կետերում, որտեղ հայտարարը հավասար չէ զրոյի՝ $x^2-4\ne 0$։ Հետևաբար ֆունկցիայի որոշման տիրույթը կլինի՝ $D(f)=ℝ\setminus \{\pm 2\}$ կամ կարող ենք գրել հետևյալ տեսքով՝ $D(f)=(-\propto ;-2)\cup (-2;2)\cup (2;+\propto )$։

Չափ

Եթե ֆունկցիայի որոշման տիրույթի յուրաքանչյուր կետ ինչ–որ բազմություն է, օրինակ՝ տրված բազմության ենթաբազմությունը, ապա ասում են՝ տրված է բազմության ֆունկցիան։

Չափը ֆունկցիայի այնպիսի օրինակ է, որում որոշման տիրույթ է հանդիսանում տրված բազմության ենթաբազմությունների ինչ որ համախումբ, որը կարող է ներկայանալ օրինակ՝ որպես բազմությունների օղակ կամ կիսաօղակ։

Օրինակ՝ որոշյալ ինտեգրալը ներկայանում է ֆունկցիայի կողմնորոշված տարածություն։

Ֆունկցիոնալ

Թող $𝔽=\{f\mid f:X\to ℝ\}$ լինի $X$ բազմությունից $ℝ$ բազմության վրա տրված ֆունկցիա։ Այդ դեպքում սահմանենք $F:𝔽\to ℝ$ ֆունկկցիա։ Նման ֆունկցիաներին անվանում են ֆունկցիոնալ։

Եթե, օրինակ, $x_0\in X$ նշված կետի համար ֆունկցիան որոշված է, ապա կարելի է որոշել $F(f)=f(x_0)$ ֆունկցիան, որը տրված կետում ունի նույն իմաստը, ինչ–որ $f$ ֆունկցիան $x_0$ կետում։

Տես նաև

• Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթ

Գրականություն

• Функция, математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• Կաղապար:Книга
• Կաղապար:Книга
• Կաղապար:Книга
• Կաղապար:Книга
• Կաղապար:Книга