Ֆուրիեի շարք

Ֆուրիեի շարք, մաթեմատիկայում պարբերական ֆունկցիայի (որը կարող է լինել որևէ ազդանշան կամ ալիք) վերլուծությունն է ավելի պարզ ֆունկցիաների կամ տատանումների, այն է՝ սինուսոիդների (կամ կոմպսլեքս տեսքով՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալների) վերջավոր կամ անվերջ գումարի տեսքով։ Այդպես է անվանվել ի պատիվ Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժոզեֆ Ֆուրիեի, ով առաջինն է ուսումնասիրել այդ շարքերը ջերմահաղորդականության հավասարման կոնտեքստում։ Ֆուրիեյի շարքերի ուսումնասիրությունը Ֆուրիե-անալիզի ճյուղերից է, որն էլ իր հերթին մաս է կազմում Հարմոնիկ անալիզի։ Դեռ խորհրդային տարիներից Հայաստանում մի խումբ մաթեմատիկոսներ, մասնավորապես՝ ակադեմիկոս Ալեքսանդր Թալալյանը և իր ուսանողները, զբաղվում են Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ։

Սահմանումը

Ենթադրենք $f$-ը որևէ ինտեգրելի $2\pi$-պարբերական ֆունկցիա է՝ որոշված ամբողջ իրական թվային առանցքի վրա։ Մենք ցանկանում ենք այն ներկայացնել որպես հետևյալ տեսքի եռանկյունաչափական շարքի գումար.

$f(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\cdot \sin (nt+{\varphi }_n),A_n\ge 0$։

Կիրառելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարզագույն հատկությունները՝ շարքը կարելի է ձևափոխել և գրել՝

$\begin{array}{c}\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\stackrel{A_n\sin ({\varphi }_n)}{\overbrace{a_n}}\cos (nt)+\stackrel{A_n\cos ({\varphi }_n)}{\overbrace{b_n}}\sin (nt))\\ \end{array}$

տեսքով։ Սակայն երբեմն նախընտրելի է առավել կոմպակտ

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n\cdot e^{int}$

ներկայացումը, որը ստացվում է Ֆուրիեյի շարքից՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալի համար

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Էյլերի բանաձևից։

Եթե $f$-ը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերջավոր գումար է, ապա կարելի է հեշտորեն համոզվել (օգտվելով եռանկյունաչափական համակարգի օրթոգոնալությունից), որ $a_n$ և $b_n$ գործակիցները որոշվում են հետևյալ բանաձևերով.

$a_n=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(t)\cdot \cos (\frac{nt}{P})dt$, $b_n=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(t)\cdot \sin (nt)dt$,

իսկ կոմպլեքս ներկայացմամբ՝

$c_n=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(t)\cdot e^{-int}dt$

բանաձևով։
Ընդհանուր դեպքում, տվյալ ինտեգրելի $f$ ֆունկցիայի համար կդիտարկենք

$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos (nt)+b_n\sin (nt))=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n\cdot e^{int}$

եռանկյունաչափական շարքը, որտեղ $a_n$, $b_n$ և $c_n$ գործակիցները որոշվում են վերը նշված բանաձևերով և այն կանվանենք $f$ ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարք։
Դասական Ֆուրիե-անալիզն ուսումնասիրում է Ֆուրիեի շարքերի զուգամիտությունը և տարամիտությունը, դրանց պայմանները։

Ներկայացում

Ֆունկցիայի եռանկյունաչափական շարքով վերլուծությունը հասկանալու համար դիտարկենք

$f(t)=A\cdot \sin (\lambda t+\varphi )$

ֆունկցիան, որտեղ $A\ge 0$։
Սովորաբար $t$-ով նշվում է ժամանակը, իսկ $f(t)$ ֆունկցիան՝ ալիքային տատանումը նկարագրող թվային պարամետրերից որևէ մեկի կախումը ժամանակից։
Վերոնշյալ բանաձևով որոշվող տատանումը կոչվում է հարմոնիկ (ներդաշնակ) տատանում։ Եթե, օրինակ, $f(t)$-ով նկարագրելու լինենք ճոճանակի շեղումը հավասարակշռության դիրքից, ապա այդ կերպ է կտատանվի հավասարակշռության դիրքից շեղված առանց դիմադրության տատանվող ճոճանակը (մաթեմատիկական ճոճանակ)։ Նմանատիպ բանաձևով են որոշվում նաև հավասարաչափ շրջանագծային շարժում կատարող կետի կոորդինատները։
$A$-ն կոչվում է տատանման ամպլիտուդ, $\lambda$-ն՝ հաճախականություն, իսկ $\varphi$-ն՝ փուլ (սկզբնական շեղում)։
Եթե երկու ալիք վերադրվում են, արդյունքում ստացված նոր ալիքի տատանումները նկարագրող թվային գործակիցները սովորաբար հավասար են լինում առանձին ալիքների համապատասխան գործակիցների գումարին (վերադրման սկզբունք, տե՛ս w:Superposition principle)։ Հետևաբար, եթե ունենք $N$ տարբեր ներդաշնակ տատանումներ՝

$f_n(t)=A_n\cdot \sin ({\lambda }_{n}t+{\varphi }_n)$,

նրանց վերադրումից առաջացած նոր ալիքի համար կստացվի՝

$f(t)=\sum _{n=0}^N{A}_n\cdot \sin ({\lambda }_{n}t+{\varphi }_n)$։

Պարզագույն դեպքում, բոլոր ${\lambda }_n$-երը որևէ թվի պատիկներ են, ինչը նշանակում է, որ $f_n(t)$-երը ունեն ընդհանուր պարբերություն։ Մասշտաբը փոխելով՝ առանց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ ${\lambda }_n=n$, այսինքն դիտարկում ենք $2\pi$-պարբերական տատանումները (ընդհանուր դեպքը՝ առանց վերջին ենթադրության, մաթեմատիկայում առանձին ուսումնասիրության առարկա է. տե՛ս w:Almost periodic functions)։ Այդ դեպքում

$f(t)=\sum _{n=0}^N{A}_n\cdot \sin (nt+{\varphi }_n)$։

Նման վերջավոր գումարի միջոցով կարող ենք ներկայացնել բազմաթիվ $2\pi$-պարբերական տատանումներ, սակայն ոչ բոլորը։ Դա հստակ էր անգամ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրության ակունքներում կանգնած մաթեմատիկոսների համար։ Ուստի, հաջորդ բնական քայլը կլիներ փորձել ներկայացնել անվերջ գումարի տեսքով՝

$f(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\cdot \sin (nt+{\varphi }_n)$։

Սակայն Ֆուրիեյի ժամանակներում ֆունկցիաների անվերջ շարքի գումարը հստակորեն սահմանված չէր. անցավ որոշ ժամանակ, մինչև մաթեմատիկոսներին կհաջողվեր իմաստավորել Ֆուրեի ձևակերպած գաղափարները։ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությունը հետագայում հիմք դարձավ բազմաթիվ նոր մաթեմատիկական տեսությունների և հայտնագործությունների, օրինակ՝ Գեորգ Կանտորի Բազմությունների տեսությունը, որը համարվում է մաթեմատիկայի հիմնարար տեսություներից մեկը։ Բազմությունների տեսությունը ստեղծելի՝ Կանտորը զբաղվում էր Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ։

Երկրաչափական մեկնաբանություն

Նկատենք, որ

$f(t)=\sum _{n=0}^N{A}_n\cdot \sin (nt+{\varphi }_n),A_n\ge 0$

վերջավոր գումարին կարելի է տալ հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը․ պատկերացնենք՝ ունենք հաջորդական շրջանագծեր, այնպես որ առաջին շրջանագիծն ունի $A_0$ շառավիղ, որի կենտրոնը կոորդինական առանցքի սկզբնակետում է։ Հաջորդ շրջանագիծն ունի $A_1$ շառավիղ, որի կենտրոնը $(A_0\cos (0t+{\varphi }_0),A_0\sin (0t+{\varphi }_0))$ կետում է և այսպես շարունակ (նման նրան, թե ինչպես է Երկիրը պտտվում արեգակի շուրջը, Լուսինն էլ՝ Երկրի)։ Եթե այս շրջանագծերը տեղադրենք «ամեն հաջորդի կենտրոնը մյուսի ընթացիկ կետում» սկզբունքով, ապա վերջին շրջանագծի $(A_N\cos (Nt+{\varphi }_N),A_N\sin (Nt+{\varphi }_N))$ դիրքին համապատասխանող կետի $y$ կոորդինատը $t$ պահին կլինի $f(t)$-ն։

• 
  $f(t)=\mathrm{sgn}[\sin (t)]$ քառակուսային ալիքի Ֆուրեյի շարքի առաջին չորս ոչ զրոյական անդամներով մոտարկումը
• 

Ընդհանրացումներ

Ֆուրիեի շարքերը կարելի է սահմանել ցանկացած պարբերական ֆունկցիայի համար՝ փոխելով մասշտաբը։ Երբ պարբերությունը ձգտում է անվերջության, ինքնըստինքյան հանգում ենք Ֆուրիեի ձևափոխությանը։ Վեջինս Ֆուրիեի շարքերի անալոգն է ոչ պարբերական ֆունկցիաների համար։

Ավելի աբստրակտ մոտեցումը հնարավորություն է տալիս Ֆուրիեյի ձևափոխությունները սահմանել Լոկալ կոմպակտ աբելյան խմբերի վրա։ Մաթեմատիկայի՝ նմանատիպ հարցերն ուսումնասիրող բաժինը կոչվում է Աբստրակտ հարմոնիկ անալիզ։ Ավելի ընդհանուր՝ Ֆուրեյի շարքը կարելի դիտարկել Գելֆանդի ձևափոխություն շրջանագծի պտույտների խմբով ծնված խմբային հանրահաշվի վրա։

Ֆուրիեյի ձևափոխությունը հնարավոր է սահմանել նաև գրաֆների և բազմաձևությունների վրա։ Այստեղ մոտեցումը Լապլաս-Բերտրամի օպերատորի սպեկտրալ տեսության միջոցով է՝ ի տարբերություն Աբստրակտ Հարմոնիկ անալիզի առավել հանրահաշվական մոտեցման։

Մեկ այլ ընդհանրացում է եռանկյունաչափական շարքերի փոխարեն այլ ֆունցկիաներ դիտարկելը։ Քսաներորդ դարի երկրորդ կեսում սա ակտիվ բնագավառ էր և կապված էր համակարգերի բազիսության (հետագայում՝ ֆրեյմ) ուսումնասիրության հետ։

Կիրառություններ

Ժամանակակից տեխնոլոգիաների զարգացումը բազմաթիվ հարցերում պարտական է Ֆուրիեյի հայտնագործությանը։ Այն ժամանակակից ինժեներների ամենկարևոր գործիքներից մեկն է։
Օրինակ, Ռիմանն-Լեբեգի լեմման պնդում է, որ ազդանշանում մեծ հաճախականությունների ներդրումը փոքր է։ Քանի որ մեծ հաճախականությունները պատասխանատու են խզման կետերի համար, նրանց գործակիցները հարմար ձևով ընտրված ֆիլտրերի միջոցով զրոյացնելը հնարավորություն է տալիս մոդիֆիկացնել ֆունկցիան՝ պահպանելով նրա հիմնական մասը և վերացնելով խզման կետերը։ Այս սկզբունքն է ընկած վնասված նկարների կամ ֆայլերի վերակագնման, արխիվացիայի, աղմուկի հեռացման մեթոդների և այլքի հիմքում։ Երբեմն եռանկյունաչափական համակարգի փոխարեն օգտագործվում են այլ համակարգեր, ինչպես օրինակ Վեյվելեթներ, Շիրլեթներ, սակայն հիմնական սկզբունքը նույնն է և հաճախ հանգեցվում է եռանկյունաչափական համակարգով որոշվող հաճախականությունների անալիզին։ Մաթեմատիկայում ևս Ֆուրիեի շարքերն ունեն բազում կիրառություններ, օրինակ՝ մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները լուծման գործում և այլն։

Գրականություն

• Կաղապար:Citation
• Կաղապար:Citation
• Կաղապար:Citation
• Կաղապար:Cite journal
• Nina K. Bary, A treatise on trigonometric series, Vols. I, II. Authorized translation by Margaret F. Mullins. A Pergamon Press Book. The Macmillan Co., New York 1964.
• Կաղապար:Citation

Արտաքին հղումներ

• Գրառումներ Ֆուրիեի ձևոփոխության մասին Կաղապար:Ref-en