Կլայն-Գորդոնի հավասարում

Կաղապար:Sidebar with collapsible lists Կլայն-Գորդոնի հավասարում (երբեմն՝ Կլայն-Ֆոկ-Գորդոնի հավասարում կամ Կլայն-Գորդոն-Ֆոկի հավասարում,Կլայն-Ֆոկի հավասարում), Շրյոդինգերի հավասարման ռելյատիվիստական տարբերակը։

$\underset{x}{\overset{2}{\partial }}\psi +\underset{y}{\overset{2}{\partial }}\psi +\underset{z}{\overset{2}{\partial }}\psi -\frac{1}{c^2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}\psi -\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi =0$,

Կամ, բնական միավորներով (որտեղ $\hslash =c=1$)՝

$(◻-m^2)\psi =0$,

որտեղ $◻$-ը դ’Ալամբերի օպերատորն է։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կիրառվում է զանգված ունեցող (հանգստի զանգված) արագ շարժվող մասնիկների համար։ Կիրառելի է սկալյար զանգվածեղ դաշտերի դեպքում։ Կարող է ընդհանրացվել ամբողջ և կիսաամբողջ սպիներով մասնիկների համար։ Բացի այդ, պարզ է, որ այս հավասարումը ալիքային հավասարման ընդհանրացումն է՝ պիտանի զանգված չունեցող սկալյար և վեկտրական դաշտերի նկարագրման համար։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումով նկարագրվող մեխանիկական համակարգերը (իրական կամ երևակայական) կարող են լինել ալիքային հավասարումով նկարագրվող համակարգերի ձևափոխություններ, օրինակ.

• Միաչափ դեպքում՝ առաձգական (Հուկի) տակդիրին ամրացված ձգված ծանր լար։
• Մակրոսկոպիկորեն իզոտրոպ բյուրեղ, որի յուրաքանչյուր ատոմը գտնվում է, բացի հարևան ատոմների հետ կապից, նաև տարածության մեջ ֆիքսված քառակուսի պոտենցիալ փոսում։
• Իրական բյուրեղների դեպքում ավելի իրատեսական է դիտարկել լայնական տատանումների մոդերը, որոնց դեպքում, օրինակ, ատոմների հարևան շերտերը տատանվում են հակափուլով։ Այդպիսի մոդերը (գծային մոտավորությամբ) ենթարկվում են Կլայն-Գորդոնի երկչափ հավասարմանը, որտեղ կոորդինատները շերտերի հարթությունում են։

Հավասարումը, որտեղ վերջին («զանգվածեղ») անդամն ունի սովորականին հակառակ նշան, տեսական ֆիզիկայում նկարագրում է տախիոն։ Հավասարման այսպիսի տարբերակը թույլ է տալիս պարզա մեխանիկական իրագործում։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումն ազատ մասնիկի համար (վերը բերված դեպքը) պարզ լուծում ունի սինուսոիդային հարթ ալիքների տեսքով։

• Դիտողություն. Տարածական ածանցյալները տեղադրելով զրո (ինչը քվանտային մեխանիկայում համապատասխանում է մասնիկի զրո իմպուլսին), Կլայն-Գորդոնի սովորական հավասարման համար կունենանք $\pm m{c}^2/\hslash$ հաճախությամբ հարմոնիկ տատանակ, ինչը համապատասխանում է մասնիկի $m$ զանգվածով որոշվող, հանգստի ոչ զրոյական էներգիային։ Հավասարման տախիոնային տարբերակն այդ դեպքում կայուն չէ, իսկ լուծումն ընդհանուր դեպքում ներառում է անսահմանափակ աճող էքսպոնենտ։

Պատմություն

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը սկզբում, մինչև իր ոչ ռելյատիվիստական հավասարումը գրելը, գրել է Էրվին Շրյոդինգերը։ Շրյոդինգերը հրաժարվում է այդ հավասարումից, քանի որ չի կարողանում էլեկտրոնի սպինը ընդգրկել դրա մեջ ։ Պարզեցնելով Կլայն-Գորդոնի հավասարումը՝ Շրյոդինգերը գրում է «իր» հավասարումը։

1926 թ., Շրյոդինգերի հավասարման հրապարակումից հետո, Ֆոկը հոդված է գրում մագնիսական դաշտերի դեպքում դրա ընդհանրացման մասին, որտեղ ուժերը կախված են արագությունից, և Շրյոդինգերից անկախ արտածում է այդ հավասարումը։ Ե՛վ Օսկար Կլայնը (նրա աշխատանքը ավելի շուտ է ստեղծվել, բայց հրատարակվել է Ֆոկի հոդվածից հետո), և՛ Վլադիմիր Ֆոկը կիրառել են Կալուցի-Կլայնի մեթոդը։ Ֆոկը նաև ներմուծել է տրամաչափային տեսություն ալիքային հավասարման համար։

Գորդոնի հոդվածը (1926 թ. վերջին) նվիրված էր Քոմփթոնի էֆեկտին։

Արտածում

Ազատ մասնիկի էներգիայի ոչ ռելյատիվիստական հավասարումը հետևյալն է՝

$\frac{{𝐩}^2}{2m}=E$։

Քվանտացնելով սա, ստանում ենք Շրյոդինգերի ոչ ռելյատիվիստական հավասարումն ազատ մասնիկի համար՝

$\frac{{\widehat{𝐩}}^2}{2m}\psi =\hat{E}\psi$,

որտեղ

$\widehat{𝐩}=-i\hslash \mathrm{\nabla }$

մեծությունը իմպուլսի օպերատորն է, Կաղապար:Math-ով նշանակված է նաբլա օպերատորը, իսկ

$\hat{E}=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}$

իսկ էներգիայի օպերատորն է։

Շրյադինդերի հավասարումը ռելյատիվիստիկորեն կովարիանտ չէ, այսինքն՝ այն հաշվի չի առնում Այնշտայնի հատուկ հարաբերականությունը։

Էներգիան հատուկ հարաբերականությունից՝

$\sqrt{{𝐩}^2{c}^2+m^2{c}^4}=E$

Կիրառելով դա և տեղադրելով իմպուլսի և էներգիայի քվանտամեխանիկական օպերատորները, կստանանք

$\sqrt{(-i\hslash \mathrm{\nabla }{)}^2{c}^2+m^2{c}^4}\psi =i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi$

հավասարումը։

Այս արտահայտության հետ աշխատելը աննպատակահարմար է արմատի առկայության պատճառով։ Ուստի Կլայնը և Գորդոնը գործածել են քառակուսի բարձրացրած մեծությունը՝

${𝐩}^2{c}^2+m^2{c}^4=E^2$,

որը, քվանտացվելով, տալիս է

$((-i\hslash \mathrm{\nabla }{)}^2{c}^2+m^2{c}^4)\psi ={\left(i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\right)}^2\psi$։

Վերջինս հնարավոր է պարզեցնել՝

$-{\hslash }^2{c}^2{\mathrm{\nabla }}^2\psi +m^2{c}^4\psi =-{\hslash }^2\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\psi$։

Վերախմբավորելով անդամները՝ ստանում ենք

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\psi -{\mathrm{\nabla }}^2\psi +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi =0$։

Այս հավասարումը հնարավոր է կիրառել ինչպես իրական, այնպես էլ՝ կեղծ արժեքներով դաշտերի համար։

Կիրառելով Մինկովսկու մետրիկական ինվերսիան Կաղապար:Math, ստանում ենք

$-{\eta }^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\psi +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi =0$

կովարիանտ նշանակումներով։ Սա հաճախ կրճատ գրվում է որպես

$(◻+{\mu }^2)\psi =0,$

որտեղ

$\mu =\frac{mc}{\hslash }$

և

$◻=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2$։

Սա կոչվում է դ'Ալամբերի օպերատոր։

Այս ձևով այն այսօր մեկնաբանվում է որպես ռելյատիվիստական դաշտի հավասարում 0 սպինով մասնիկների համար։ Ավելին, Դիրակի հավասարման ցանկացած լուծում (կիսաամբողջ սպինով մասնիկների համար) ինքնաբերաբար Կլայն-Գորդոնի հավասարման լուծում է հանդիսանում, չնայած Կլայն-Գորդոնի հավասարման ոչ բոլոր լուծումներն են Դիրակի հավասարման լուծում։ Պետք է նշել, որ Կլայն-Գորդոնի հավասարումը շատ նման է Պրոկի հավասարմանը։

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը պոտենցիալային դաշտի համար

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կարելի է ընդհանրացնել՝ նկարագրելով որևէ Կաղապար:Math պոտենցիալով դաշտը որպես

$◻\psi +\frac{\partial V}{\partial \psi }=0$։

Կլայն-Գորդոնի հավասարման լուծումն ազատ մասնիկի համար

Ազատ մասնիկի համար Կլայն-Գորդոնի

${\mathrm{\nabla }}^2\psi -\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\psi =\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi$

հավասարման լուծումը կարելի է փնտրել, ինչպես հաստատուն գործակիցներով ցանկացած գծային դիֆերենցիալ հավասարման համար հարթ ալիքների վերադրման (այսինքն՝ ցանկացած վերջավոր կամ անվերջ գծային կոմբինացիայի) տեսքով՝

$\psi (𝐫,t)=e^{i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)},$

այդպիսի ամեն ալիք տեղադրելով հավասարման մեջ, ստանում ենք պայման $𝐤$-ի և $\omega$-ի համար.

$-k^2+\frac{{\omega }^2}{c^2}=\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}$։

Ինչպես հեշտ է նկատել, հարթ ալիքը նկարագրում է որոշակի էներգիայիով և իմպուլսով մաքուր վիճակ (այսինքն, համապատասխան օպերատորների սեփական ֆունկցիա է)։ Էներգիան և իմպուլսը (այսինքն, այդ օպերատորների սեփական արժեքները), կարելի է հաշվել, ինչպես ոչ ռելյատիվիստական մասնիկի համար.

$⟨𝐩⟩=⟨\psi |\widehat{𝐩}|\psi ⟩=⟨\psi |-i\hslash \mathrm{\nabla }|\psi ⟩=\hslash 𝐤$

$⟨E⟩=⟨\psi |\hat{E}|\psi ⟩=⟨\psi |i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi ⟩=\hslash \omega$։

Գտնված $k$ և $\omega$ առնչությունը այդ դեպքում նորից տալիս է ոչ զրոյական զանգվածով ռելյատիվիստական մասնիկի էներգիայի և իմպուլսի միջև կապի հավասարումը.

$⟨E^2⟩=m^2{c}^4+⟨{𝐩}^2⟩c^2$։

Ընդ որում պարզ է, որ միջին մեծությունների համար առնչությունը կիրակականա ոչ միայն որոշակի էներգիայով և իմպուլսով վիճակների համար, այլև նրանց ցանկացած վերադրման, այսինքն Կլայն-Գորդոնի հավասարման ցանկացած լուծման համար (ինչը, մասնավորապես, ապահովում է այդ առնչության իրականացումը դասական սահմանում)։

Զանգված չունեցող մասնիկների համար կարող ենք վերջին հավասարման մեջ տեղադրել $m=0$։ Այդ դեպքում զանգված չունեցող մասնիկների համար կստանանք դիսպերսիայի օրենքը (էներգիայի և իմպուլսի առնչությունը)

$⟨E^2⟩=⟨{𝐩}^2⟩c^2$

տեսքով։ Կիրառելով խմբային արագության ${𝐯}_{gr}=\partial \omega /\partial 𝐤$ բանաձևը դժվար չէ ստանալ էներգիան և իմպուլսը արագության հետ կապող սովորական ռելյատիվիստական բանաձևեր. սկզբունքորեն այդ նույն արդյունքին կարելի է հասնել՝ պարզապես հաշվելով համիլտոնյանի կոմուտատորը կոորդինատի հետ, բայց Կլայն-Գորդոնի դեպքում բախվում ենք համիլտոնյանը բացահայտ տեսքով գրելու դժվարությանը (ակնհայտ է միայն համիլտոնյանի քառակուսին)։

Գործողություն

Կլայն-Գորդոնի հավասարումը հնարավոր է ներկայացնել վարիացիաների եղանակով՝ գործողությունը ներկայացնելով որպես

$𝒮=\int (-\frac{{\hslash }^2}{m}{\eta }^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }\overline{\psi }{\partial }_{\nu }\psi -m{c}^2\overline{\psi }\psi ){\mathrm{d}}^{4}x$,

որտեղ Կաղապար:Math-ն Կլայն-Գորդոնի դաշտն է, Կաղապար:Math-ը՝ դրա զանգվածը։ Կաղապար:Math-ի կոմպլեքս համալուծը $\overline{\psi }$ է։ Եթե սկալյար դաշտը իրական արժեքով է ընտրվում, ապա $\overline{\psi }=\psi$։ Կիրառելով հիլբերտյան էներգիայի և իմպուլսի թենզորը Լագրանժյան խտության (ինտեգրալի մեծությունը) հանդեպ, կարող ենք արտածել սկալյար դաշտի էներգիայի և իմպուլսի թենզորը։ Այն կլինի

$T^{\mu \nu }=\frac{{\hslash }^2}{m}({\eta }^{\mu \alpha }{\eta }^{\nu \beta }+{\eta }^{\mu \beta }{\eta }^{\nu \alpha }-{\eta }^{\mu \nu }{\eta }^{\alpha \beta }){\partial }_{\alpha }\overline{\psi }{\partial }_{\beta }\psi -{\eta }^{\mu \nu }m{c}^2\overline{\psi }\psi$։

Էլեկտրամագնիսական փոխազդեցություն

Տրամաչափային ինվարիանտի ճանապարհով որևէ դաշտ էլեկտրամագնիսականության հետ փոխազդեցության մեջ դնելու համար պետք է ածանցյալի օպերատորները փոխարինել տրամաչափային կովարիանտ ածանցյալի օպերատորներով։ Այս դեպքում Կլայն-Գորդոնի հավասարումը կդառնա

$D_{\mu }{D}^{\mu }\varphi =-({\partial }_t-ie{A}_0{)}^2\varphi +({\partial }_i-ie{A}_i{)}^2\varphi =m^2\varphi$

բնական միավորներով, որտեղ Կաղապար:Math-ն վեկտորական պոտենցիալն է։ Հնարավոր է ավելացնել ավելի բարձր կարգով անդամներ, օրինակ

$D_{\mu }{D}^{\mu }\varphi +A{F}^{\mu \nu }{D}_{\mu }\varphi D_{\nu }(D_{\alpha }{D}^{\alpha }\varphi )=0$։

Այս անդամները 3+1 չափողականություններում չեն վերանորմավորվում։

Դաշտի հավասարումը լիցքավորված սկալյար դաշտի համար բազմապատկվում է Կաղապար:Math-ով, ինչը նշանակում է, որ դաշտը կոմպլեքս է։ Լիցքավորված լինելու համար դաշտը պետք է ունենա երկու բաղադրիչներ՝ իրական և կեղծ մասեր, որոնք շրջելի են մեկը մյուսի հանդեպ։

Լիցքավորված սկալյարի համար գործողությունը չլիցքավորված սկալյարի կովարիանտ տարբերակն է՝

$S=\underset{x}{\int }({\partial }_{\mu }{\varphi }^{*}+ie{A}_{\mu }{\varphi }^{*})({\partial }_{\nu }\varphi -ie{A}_{\nu }\varphi ){\eta }^{\mu \nu }=\underset{x}{\int }|D\varphi {|}^2$։

Գրավիտացիոն փոխազդեցություն

Ընդհանուր հարաբերականության մեջ ներառելով գրավիտացիայի էֆեկտը՝ Կլայն-Գորդոնի հավասարման համար կունենանք (մետրիկ սիգնատուրով)

$\begin{array}{cc}0& =-g^{\mu \nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }\psi +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi =-g^{\mu \nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }({\partial }_{\nu }\psi )+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi \\ & =-g^{\mu \nu }{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }\psi +g^{\mu \nu }{\mathrm{\Gamma }}^{\sigma }{}_{\mu \nu }{\partial }_{\sigma }\psi +\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi \end{array}$

կամ դրա համարժեքը՝

$\frac{-1}{\sqrt{-g}}{\partial }_{\mu }\left(g^{\mu \nu }\sqrt{-g}{\partial }_{\nu }\psi \right)+\frac{m^2{c}^2}{{\hslash }^2}\psi =0$,

որտեղ gԿաղապար:Math-ն մետրիկ թենզորի ինվերսիան է, այսինքն՝ գրավիտացիոն պոտենցիալ դաշտը, g-ն մետրիկ թենզորի դետերմինանտն է, Կաղապար:Math-ն կովարիանտ ածանցյալն է, Կաղապար:Math-ն՝ Քրիստոֆելի սիմվոլը, այսինքն՝ գրավիտացիոն ուժային դաշտը։

Տես նաև

• Դիրակի հավասարում
• Շրյոդինգերի հավասարում
• Մաքսվելի հավասարումներ
• Դաշտի քվանտային տեսություն

Արտաքին հղումներ

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), [www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/k055480 "Klein–Gordon equation"], Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Weisstein, Eric W., "Klein–Gordon equation", MathWorld.
• Linear Klein–Gordon Equation at EqWorld։ The World of Mathematical Equations.
• Nonlinear Klein–Gordon Equation at EqWorld։ The World of Mathematical Equations.
• Introduction to nonlocal equations.