Գումար (մաթեմատիկա)

Հունարենի մեծատառ սիգմա, գումարի պայմանական նշան

Գումար (Կաղապար:Lang-la-ամբողջը, ընդհանուր քանակ) մաթեմատիկայում դա թվային մեծությունների (թվեր, ֆունկցիաներ, վեկտորներ, մատրիցներ) գումարման արդյունքն է։ Բոլոր դեպքերի համար ընդհանուր է բաշխումը և զուգորդությունը։

$a+b=b+a$

$a+(b+c)=(a+b)+c$

$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

$c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b$

Բազմությունների տեսությունում գումար կամ միավորում կոչվում է բազմությունը, որի անդամ են հանդիսանում միավորվող բազմություններին պատկանող և չկրկնվող բոլոր տարրերը։ Կարող է լինել նաև ավելի բարդ հանրահաշվական կառուցվածքների գումար, օրինակ՝ գծային տարածությունների, իդեալների գումար, կատեգորիաների գումար և այլն։

Թվաբանական գումար

Դիցուք՝ $\mathbb{N}$բազմությունն ունի $a$ անդամ, որոնք կազմում են $A$ ենթաբազմությունը և $b$ անդամները, որոնք կազմում են $B$ ենթաբազմությունը ($A\subset \mathbb{N},B\subset \mathbb{N}$, a և b - բնական թվեր են)։ Այդ դեպքում $a+b$ թվաբանական գումարը կլինի $c$ անդամների քանակը, որոնք կազմում են $C\subset \mathbb{N}$ ենթաբազմությունը, որն առաջանում է սկզբնական ենթաբազմությունների միավորումից $C=A\bigsqcup B$։

Հանրահաշվական գումար

Մաթեմատիկորեն գումարը նշանակում են հունարեն մեծատար Σ (սիգմա)․

$\sum _{i=m}^n{a}_i=a_m+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_n$

որտեղ․ i - գումարման ինդեքսն է, a_i - փոփոխականն է, ցույց է տալիս յուրաքանչյուր անդամը, m - գումարման ներքին սահմանը, n -գումարման վերին սահմանը։ Նշանի տակ գրված «i = m» նշանակում է, որ i -ի սկզբնական արժեքը համարժեք է m -ին։ Այս գրառումից հետևում է,որ i -ի արժեքը մեծանում է մեկով և կանգ կառնի, երբ Կաղապար:Nowrap.։

Ծրագրավորման մեջ տվյալ գործողությանը համապատասխանում է- for.

Գրառման օրինակներ

$\sum _{i=1}^{100}i=1+2+3+4+...+99+100$

$\sum _{i=3}^6{i}^2=3^2+4^2+5^2+6^2=86$

Սահմանների նշումը կարելի է չանել,եթե գրառումից պարզ է։

$\sum a_i^2=\sum _{i=1}^n{a}_i^2$

Տվյալ միջակայքի բոլոր բնական $k$ թվերի գումարը գրառվում է․

$\sum _{0\le k<100}f(k)$

$S$ բազմության $x$անդամների $f(x)$գումարը

$\sum _{x\in S}f(x)$

$d$ թվի բաժանարար հանդիսացող $n$ թվերի $\mu (d)$ գումար։

$\sum _{d|n}\mu (d)$

Մի քանի սիմվոլներ կարող են ընդհանրացնել․

$\sum _{\ell ,{\ell }^{\prime }}=\sum _{\ell }\sum _{{\ell }^{\prime }}$

Անվերջ գումար

Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ որոշվում է շարքի հասկացությունը, որպես անվերջ թվով գումարելիների գումարը։

Օրինակ

1. Թվաբանական պրոգրեսիայի գումար․

$\sum _{i=0}^n(a_0+b\cdot i)=(n+1)\frac{a_0+a_n}{2}$

---

2. Երկրաչափական պրոգրեսիայի գումար․

$\sum _{i=0}^n{a}_0\cdot b^i=a_0\cdot \frac{1-b^{n+1}}{1-b}$

---

3.$\sum _{k=1}^n{k}^3={\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]}^2={\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)}^2$

---

4. $\sum _{i=0}^n{\left(\frac{1}{p}\right)}^i=\frac{p}{p-1}(1-\frac{1}{p^{n+1}}),p\ne 1,n\ge 0$ Կաղապար:Hider

---

5. $\sum _{i=0}^{n}i{p}^i=\frac{n{p}^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1{)}^2},p\ne 1$ Կաղապար:Hider

---

6. $\sum _{i=0}^n{p}^i=(p-1)\sum _{i=0}^{n-1}((n-i)p^i)+n+1,p\ne 1$ Կաղապար:Hider

Հարկ է նշել,որ $p=10$ դեպքում $\sum _{i=0}^{n}10^i=9\cdot \sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^i)+n+1$, շարքը հավասարություն է, որ ունի հետևյալ տեսքը․
$1=9\cdot 0+1,11=9\cdot 1+2,111=9\cdot 12+3,1111=9\cdot 123+4,11111=9\cdot 1234+5$

Անորոշ գումար

Անորոշ գումար $a_i$ ըստ $i$ կոչվում է $f(i)$ֆունկցիան, նշանակվում է $\sum _i^{}{a}_i$, что $\mathrm{\forall }i:f(i+1)-f(i)=a_i$.

Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձև

Եթե գտնվել է անորոշ գումար$\sum _i^{}{a}_i=f(i)$, ապա $\sum _{i=a}^b{a}_i=f(b+1),f(a)$.

Տես նաև

• Գումարում
• Արտադրյալ

Գրականություն

• Կաղապար:Ռուսերեն գիրք