Կանոնավոր տասներկուանիստ

Կանոնավոր տասներկուանիստ կամ կանոնավոր դոդեկաէդր (Կաղապար:Lang-grc - «տասներկու» և Կաղապար:Lang-grc2 - «նիստ»), հինգ հնարավոր կանոնավոր բազմանիստերից մեկը։ Տասներկուանիստը բաղկացած է տասներկու կանոնավոր հնգանկյուններից, որոնք հանդիսանում են նրա նիստերը։ Տասներկուանիստի յուրաքանչյուր գագաթ հանդիսանում է երեք կանոնավոր հնգանկյունիների գագաթ։ Այսպիսով՝ տասներկուանիստը կազմված է 12 նիստից (հնգանկյուն), 30 կողից և 20 գագաթից (յուրաքանչյուր գագաթից՝ 3 կող)։

Տասներկուանիստ և նրան արտագծված գունդ

Պատմություն

Թերևս ամենահին տասներկուանիստի տեսքով իրը հայտնաբերվել է Իտալիայի հյուսիսում՝ Պադովայի մոտ, 19-րդ դարի վերջին, այն թվագրվում է մ.թ.ա. 500 թվականին և ենթադրաբար օգտագործվել է որպես զառախաղ էտրուսկների կողմից։

Հին հույն գիտնականները իրենց աշխատություններում նշել են տասներկուանիստի մասին։ Պլատոնը տարբեր դասական տարրեր համեմատեց կանոնավոր բազմանիստերի հետ։ Տասներկուանիստի մասին Պլատոնը գրել է, որ «... Աստված սահմանեց այն Տիեզերքի համար և օգտագործեց որպես մոդել»։ Էվկլիդեսը իր «Սկզբունքներ» XIII գրքի 17-րդ նախադասության մեջ խորանարդի կողերին կառուցում է տասներկուանիստԿաղապար:Rp։ Պապուս Ալեքսանդրիացին «Մաթեմատիկական ժողովածուում» զբաղվում է տասներկուանիստի կառուցմամբ, ճանապարհին ապացուցելով, որ տասներկուանիստի գագաթները գտնվում են զուգահեռ հարթություններումԿաղապար:Rp։

Եվրոպական մի քանի երկրների տարածքում հայտնաբերվել են բազմաթիվ առարկաներ, որոնք կոչվում են հռոմեական տասներկուանիստներ, որոնք թվագրվում են մեր թվարկությունից առաջ 2-3-րդ դարերով, որի նպատակը ամբողջովին պարզ չէ։

Հիմնական բանաձևեր

Եթե որպես կողի երկարություն վերցնենք $a$, ապա տասներկուանիստի մակերևույթի մակերեսը հավասար է

$S=3a^2\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}\approx 20,645728807067602a^2$։

Տասներկուանիստի ծավալը

$V=\frac{a^3}{4}(15+7\sqrt{5})\approx 7,663118960624632a^3$։

Տասներկուանիստին արտագծյալ գնդի շառավիղը

$R=\frac{a}{4}(1+\sqrt{5})\sqrt{3}\approx 1,4012585384440734a$։

Տասներկուանիստին ներգծյալ գնդի շառավիղը

$r=\frac{a}{4}\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}\approx 1,1135163644116066a$։

Հատկություններ

• Տասներկուանիստի բոլոր գագաթները՝ հինգական, գտնվում են չորս զուգահեռ հարթություններում՝ դրանցից յուրաքանչյուրում կազմելով կանոնավոր հնգանկյուն։
• Տասներկուանիստի ցանկացած երկու կից նիստերով կազմված երկնիստ անկյունը հավասար է arccos(−1/√5) = 116.565051177078°։
• 20 գագաթներից յուրաքանչյուրի հարթ անկյունների գումարը 324 ° է, եռանիստ անկյունը հավասար է arccos(−11/5√5) ≈ 2,9617 ստեռադիան։
• Տասներկուանիստին կարելի է ներգծել խորանարդ այնպես, որ խորանարդի կողմերը հանդիսանան տասներկուանիստի անկյունագծեր։
• Տասներկուանիստն ունի երեք աստղային տեսք։
• Տասներկուանիստին կարելի է ներգծել հինգ խորանարդ։ Եթե տասներկուանիստի հնգանկյուն նիստերը փոխարինենք հարթ հնգանկյուն աստղերով այնպես, որ տասներկուանիստի կողերը վերանան, ապա մենք ստանում ենք հինգ հատվող խորանարդի տարածություն։ Տասներկուանիստը, որպես այդպիսին, կվերանա։ Փակ բազմանկյան փոխարեն կհայտնվի հինգ ուղղանկյուն բաց երկրաչափական համակարգ։ Կամ հինգ եռաչափ տարածությունների համաչափ հատում։
• Կամայական նիստին զուգահեռ ամենամոտ հարթությունը, որն ունի հինգ գագաթ՝ տվյալ նիստին չպատկանող, գտնվում է այս նիստին ներգծված շրջանագծի շառավղի երկարության վրա։ Եվ այս հինգ գագաթների շուրջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է շրջաններից մեկի տրամագծին։ Այս երկու մեծությունները համապատասխանաբար հավասար են՝ $\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}a$ և $\frac{\sqrt{5}+1}{2}\cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}}a$, որտեղ $a$–ն տասներկուանիստի կողի երկարությունն է։

Տասներկուանիստի համաչափության տարրեր

• Տասներկուանիստն ունի համաչափության կենտրոն և համաչափության 15 առանցք:Առանցքներից յուրաքանչյուրն անցնում է հակառակ՝ զուգահեռ, կողերի միջնակետերով։
• Տասներկուանիստն ունի 15 համաչափության հարթություն։ Համաչափության ցանկացած հարթություն յուրաքանչյուր նիստով անցնում է հակառակ՝ զուգահեռ, կողի գագաթով և միջնակետով։

Կապը գնդային մակերևույթի հետ

Կանոնավոր տասներկուանիստ առաջանում է նաև գնդի մակերևույթում՝ կանոնավոր հնգանկյուններով։

Կաղապար:Iw	Ստերեոգրաֆիկ պրոյեկցիա

Հետաքրքիր փաստեր

• Ռադիոլյարյան Circorrhegma dodecahedra- ն, որը նկարագրեց Էռնստ Հեկկելը 1887 թվականին, ունի տասներկուանիստի մոտավոր տեսք։
• 2003 թվականին, WMAP տիեզերանավի տվյալների վերլուծության ժամանակ, առաջ քաշվեց վարկած, որ տիեզերքը Պուանկարեի տասներկուանիստ տարածություն է։

Մշակույթի մեջ

• Տասներկուանիստը օգտագործվում է որպես պատահական թվերի գեներատոր (այլ զառերի հետ միասին) սեղանի դերախաղերում և նշվում է d12 (զառախաղ)։
• Սեղանի օրացույցները պատրաստվում են թղթե տասներկուանիստի տեսքով, որտեղ տասներկու ամիսներից յուրաքանչյուրը գտնվում է կողերից մեկում։
• Megaminx-ը նման է կուբիկ Ռուբիկի, միայն տասներկուանիստի նմանությամբ։ Ընդհանուր 62 մաս` 12 կենտրոն, 20 անկյուն և 30 կող։

Տես նաև

• Տասներկուանիստ
• Վիննենջերի բազմանիստերի մոդելների ցանկ
• Բազմանիստ

Արտաքին հղումներ

• Editable printable net of a dodecahedron with interactive 3D view
• The Uniform Polyhedra