Գունդ

Կաղապար:Այլ կիրառումներ Գնդի մակերևույթը (գնդոլորտը կամ սֆերան (Կաղապար:Lang-el)) տարածության այն կետերի երկրաչափական տեղն է, որոնք հավասարահեռ են մի կետից։ Այդ կետը կոչվում է գնդոլորտի կենտրոն, իսկ գնդոլորտի որևէ կետ նրա կենտրոնի հետ միացնող հատվածը կոչվում է գնդի շառավիղ։ Ոլորտով պարփակված և ոլորտի կենտրոնը պարունակող տարածության մասը կոչվում է գունդ։ Գունդը կառաջանա որպես պտտական մարմին, եթե շրջանը կամ կիսաշրջանը պտտենք տրամագծի շուրջը։

Անալիտիկ երկրաչափություն

Անալիտիկ երկրաչափության տեսակետից ոլորտը 2-րդ կարգի կենտրոնավոր մակերևույթ է, որի հավասարումը ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգում ունի

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$

տեսքը, որտեղ a, b, c-ն ոլորտի կենտրոնի կոորդինատներն են։

Գունդը բնութագրող բանաձևերը

Մակերևույթի մակերեսը	$S_O=4\pi r^2$
Ծավալը	$V=\frac{4}{3}\pi r^3$
Սեգմենտի ծավալը	$V_{\mathrm{K}\mathrm{S}}=\frac{h^2\pi }{3}(3r-h)$
Իներցիայի մոմենտը	$J=\frac{2}{5}m{r}^2$

• $V=\frac{\pi d^3}{6}$

Կաղապար:Hider Գնդի հասկացությունը մետրական տարածության մեջ բնականորեն ընդանրացնում է գնդի հասկացությունը էվկլիդյան երկրաչափությունում։

Գնդային գոտի

Գունդ

Գնդային գոտի կոչվում է սֆերայի այն մասը, որն առնված է գունդը հատող երկու զուգահեռ հարթությունների միջև, իսկ գնդի համապատասխան մասը կոչվում է գնդային շերտ։ Եթե այդ երկու զուգահեռ հարթություններից մեկը շոշափում է սֆերան, ապա ստացվում է գնդային սեգմենտ։ Եթե այդ հարթություններից մեկը շոշափում է գնդոլորտը, իսկ մյուսը անցնում է գնդի կենտրոնով, ապա ստանում ենք կիսագունդ։

Գնդային սեկտոր

Գնդային սեկտոր

Գնդային սեկտոր կոչվում է այն մարմիննը, որը ստացվում է գնդային սեգմենտից և կոնից։ Այն դեպքում, երբ սեգմենտը փոքր է կիսագնդից, գնդային սեկտորը ստացվում է սեգմենտը լրացնելով սեգմենտի հետ նույն հիմքը ունեցող և գնդի կենտրոնը գագաթ ունեցող կոնով։ Իսկ եթե սեգմենտը մեծ է կիսագնդից, ապա գնդային սեկտորը ստացվում է այդ սեգմենտից հեռացնելով նրա հետ ընդհանուր հիմք և գնդի կենտրոնը գագաթ ունեցող կոնը։ Գնդային գոտու մակերևույթի մակերեսը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝ $S=2\pi Rh$ որտեղ $R$-ը գնդի շառավիղն է, $h$-ը՝ գնդային գոտու բարձրությունը, $\pi$-ն մոտավորապես հավասար է 3.14։ Եթե գնդի շառավիղը $R$ է, իսկ սեգմենտի բարձրությունը՝ $h$, ապա գնդային սեկտորի ծավալը հաշվում է $V=\frac{2}{3}\pi R^{2}h$ բանաձևով։

Թեորեմ

Գնդի ցանկացած հարթ հատույթ շրջան է։ Ընդ որում, եթե գնդի շառավիղը հավասար է $R$, իսկ հատման հարթության հեռավորությունը գնդի կենտրոնից հավասար է $d$, ապա հատույթի շառավիղը հավասար է $r=\sqrt{R^2-d^2}$։

Ապացույց

Դիցուք $O$-ն գնդի կենտրոնն է, $O^{\prime }$-ը գնդի կենտրոնի պրոյեկցիան է հատույթի հարթության վրա, $O{O}^{\prime }=|x|$, $A$-ն սֆերայի և հատույթի հարթությանը պատկանող որևէ կետ է։ Ստացված $O{O}^{\prime }A$ եռանկյունում $\mathrm{\angle }O{O}^{\prime }A=90^{\circ }$ ։ Հետևաբար $O^{\prime }A=\sqrt{O{A}^2-O^{\prime }{O}^2}$ $=\sqrt{R^2-|x{|}^2}$։ Այստեղից հետևում է, որ $A$-ն պատկանում է հատույթի հարթության մեջ ընկած $O^{\prime }$ կենտրոնով և $r$ շառավղով շրջանագծին։ Դժվար չէ ստուգել, որ այդ շրջանագծի ցանկացած կետն ընկած է տրված սֆերայի վրա։

Գնդին ներգծված և արտագծված մարմիններ

• Բազմանիստը կոչվում է գնդային մակերևույթին արտագծած, եթե գնդային մակերևույթը շոշափում է նրա բոլոր նիստերը։ Այդ դեպքում գնդային մակերևույթը

կոչվում է ներգծված բազմանիստին։

• Բազմանիստը կոչվում է ներգծած գնդային մակերևույթին, եթե նրա բոլոր գագաթները ընկած են գնդային մակերևույթի վրա։ Այդ դեպքում գնդային մակերևույթը

կոչվում է արտագծված բազմանիստին։

• Եթե կանոնավոր պրիզմային կարելի է ներգծել գնդային մակերևույթ, ապա գնդային մակերևույթի կենտրոնը բազմանիստի հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է։
• Կանոնավոր պրիզմային արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը բազմանիստի հիմքերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է։
• Կանոնավոր բուրգին ներգծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը գտնվում է բուրգի բարձրության վրա։
• Կանոնավոր բուրգին արտագծած գնդային մակերևույթի կենտրոնը գտնվում է բուրգի բարձրության կամ նրա շարունակության վրա։
• Գնդային մակերևույթը կոչվում է ներգծված գլանին, եթե այն շոշափում է գլանի հիմքերը և բոլոր ծնորդները։
• Գնդային մակերևույթը կոչվում է ներգծված կոնին, եթե այն շոշափում է կոնի հիմքը և բոլոր ծնորդները։
• Գլանը կոչվում է ներգծված գնդային մակերևույթին, եթե գլանի հիմքերը գնդային մակերևույթի հատույթներ են։