Անալիտիկ երկրաչափություն

Կաղապար:General geometry Անալիտիկ երկրաչափություն, երկրաչափության բաժին, որն ուսումնասիրում է պարզագույն երկրաչափական պատկերների հատկությունները՝ հանրահաշվական մեթոդներով։ Երկրաչափության մեջ այդ մեթոդներն առաջին անգամ կիրառել է ֆրանսիացի փիլիսոփա և մաթեմատիկոս Ռենե Դեկարտը՝ հենվելով իր ստեղծած կոորդինատների (դեկարտյան կոորդինատներ) մեթոդի վրա, որի հիմքում ընկած է կետը կոորդինատներով որոշելու գաղափարը։

Անալիտիկ երկրաչափության մյուս հիմնական գաղափարի հետ ծանոթանալու համար $XOY$ կոորդինատական հարթության մեջ դիտարկենք որևէ գիծ։ Այդ գծի ցանկացած կետի $x$ աբսցիսով միարժեքորեն կամ բազմարժեքորեն որոշվում են նրա այն կետերի $y$ օրդինատները, որոնք գտնվում են $M$–ով անցնող և $OY$ առանցքին զուգահեռ $AM$ ուղղի վրա։

Այսպիսով, հարթության վրա տրված գծի ցանկացած կետի $x$ և $y$ կոորդինատների միջև կա ֆունկցիոնալ կախվածություն, նրանք կապված են իրար հետ մի որոշ $F(x,y)=0$ (1) հավասարմամբ, որը և կոչվում է այդ գծի հավասարում։ Օրինակ, անկյան կիսորդի հավասարումն է՝ $y-x=0$։

Ճիշտ է նաև հակառակը՝ (1) տեսքի ամեն մի հավասարում որոշակի պայմաններում պատկերում է հարթության մեջ մի գիծ։ Այսպիսով, ստեղծվում է որոշակի համապատասխանություն $XOY$ հարթության գծերի բազմության և (1) տեսքի հավասարումների բազմության միջև։

Այդ իսկ պատճառով հնարավոր է դառնում այդ գծերի երկրաչափական հատկությունների ուսումնասիրությունը հանգեցնել (1) տեսքի հավասարումների անալիտիկ կամ հանրահաշվական հատկությունների ուսումնասիրությանը։ Եթե $F(x,y)n$ աստիճանի որևէ բազմանդամ է, ապա (1)–ով պատկերվող գիծը կոչվում է n կարգի հանրահաշվական կոր։ Ա. ե–յան մեջ հիմնականում ուսումնասիրվում են առաջին և երկրորդ կարգի հանրահաշվական կորերը, որոնց ընդհանուր հավասարումներն են՝ $Ax+By+C=0$ և $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$։ Առաջին կարգի հանրահաշվական կորերը միայն և միայն ուղիղ գծեր են։ Երկրորդ կարգի հանրահաշվական կորերի հիմնական տեսակներն են՝ շրջանագիծը, էլիպսը, հիպերբոլը և պարաբոլը (տես Կոնական հատույթներ)։ Տարածության մեջ տրված ամեն մի մակերևույթի ցանկացած կետի կոորդինատները կապված են իրար հետ մի որոշ $F(x,y,z)=0$ (2) հավասարմամբ և ընդհակառակը՝ այդ տեսքի ամեն մի հավասարում որոշակի պայմաններում պատկերում է մի մակերևույթ։ Եթե $F(x,y,z)n$ աստիճանի բազմանդամ է, ապա համապատասխան մակերևույթը կոչվում է $n$ կարգի հանրահաշվական մակերևույթ։ Տարածության մեջ անալիտիկ երկրաչափությունը գլխավորապես ուսումնասիրում է առաջին և երկրորդ կարգի հանրահաշվական մակերևույթները։ Ապացուցվում է, որ առաջին կարգի մակերևույթները միայն և միայն հարթություններ են, իսկ երկրորդ կարգի հանրահաշվական մակերևույթների հիմնական տեսակներն են՝ գունդը, Էլիպսոիդը, միախոռոչ և երկխոռոչ հիպերբոլոիդները, էլիպսական, հիպերբոլական և պարաբոլական գլանները, էլիպսական և հիպերբոլական պարաբոլոիդները և երկրորդ կարգի կոնը։ Տարածության մեջ գծերը ևս կարելի է պատկերել հավասարումների միջոցով։ Դրա համար բավական է տրված գծով տանել որևէ երկու իրարից տարբեր մակերևույթներ և վերցնել նրանց հավասարումների համակարգը՝

$\{\begin{array}{c}{F}_1(x,y,z)=0\\ F_2(x,y,z)=0:\end{array}$

Այսպիսով, անալիտիկ երկրաչափության մեթոդները հնարավորություն են տալիս երկրաչափական խնդիրները մեկնաբանել հանրահաշվորեն և ընդհակառակը։ Օրինակ, լուծել երկու անհայտով հավասարումների համակարգը, նշանակում է գտնել այդ հավասարումներով հարթության վրա պատկերվող գծերի հատման կետերը։ Անալիտիկ երկրաչափության մեթոդները, հատկապես 2-րդ կարգի մակերեվույթների տեսությունը, կիրառվում են մաթեմատիկայի զանազան բաժիններում, մեխանիկայում, ֆիզիկայում և այլուր։

Գրականություն

• Դելոնե Բ. Ն. և Ռայկով Դ.Ա., Անալիտիկ երկրաչափություն, հ. 1–2, Ե., 1959–62։ Պրիվալով Ի. Ի., Անալիտիկ երկրաչափություն, 2 հրտ., Ե., 1965։